(UnBgama-Adaptada) O intervalo de convergência da série abaixo de potência será:
∑(−1)ⁿ⁻¹·(1/√n)·xⁿ
n=1 até ∞

Question

Accepted Answer

Para determinar o intervalo de convergência da série de potência

$$
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{\sqrt{n}} x^n
$$

podemos aplicar o teste da raiz ou o teste da razão. Neste caso, o teste da raiz é mais apropriado devido à presença de $x^n$.

### Teste da Raiz

O teste da raiz diz que a série

$$
\sum a_n x^n
$$

converge se

$$
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n x^n|} < 1.
$$

Aqui, $a_n = \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}$, então

$$
|a_n x^n| = \frac{|x|^n}{\sqrt{n}}.
$$

Calculando o limite:

$$
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left|\frac{x^n}{\sqrt{n}}\right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{|x|}{n^{1/(2n)}} = |x|.
$$

A série converge se $ |x| < 1 $.

Portanto, o intervalo de convergência é $(-1, 1)$.

**Resposta: (-1, 1)**