As coordenadas retangulares e as coordenadas polares se relacionam por meio das seguintes equações $ r^{2}=x^{2}+y^{2}, x=r \cos \theta $ e $ y=r \operatorname{sen} \theta $. Assim, a integral dupla com coordenadas $ \iint f(x y) \mathrm{dA} $, onde $ R=\{(x, y) ; \mathbf{a} \leq \mathbf{x} \leq \mathbf{b} $ e $ \mathbf{c} \leq \mathbf{y} \leq \mathbf{d}\} $ é equivalente à integral dupla com coordenadas polares $ \iint f(r \cos \theta, r \operatorname{sen} \theta) \mathbf{r} \cdot \boldsymbol{d r} . \boldsymbol{d} \boldsymbol{\theta} $, onde $ R=\{(r, \boldsymbol{\theta}) ; \mathbf{a} \leq \mathbf{r} \leq \mathbf{b} $ e $ \boldsymbol{\alpha} \leq \boldsymbol{\theta} \leq \boldsymbol{\beta}\} $. Considere a integral dupla $ \iint \mathbf{2 y} \mathbf{d A} $, onde $ R $ é a região representa no gráfico e limitada pelos círculos $ x^{2}+y^{2}=4, x^{2}+y^{2}=16 $ e pela função $ y=x $.

Considerando o enunciado e a gráfico. Assinale a alternativa que representa a integral polar.

Question

As coordenadas retangulares e as coordenadas polares se relacionam por meio das seguintes equações $ r^{2}=x^{2}+y^{2}, x=r \cos \theta $ e $ y=r \operatorname{sen} \theta $. Assim, a integral dupla com coordenadas $ \iint f(x y) \mathrm{dA} $, onde $ R=\{(x, y) ; \mathbf{a} \leq \mathbf{x} \leq \mathbf{b} $ e $ \mathbf{c} \leq \mathbf{y} \leq \mathbf{d}\} $ é equivalente à integral dupla com coordenadas polares $ \iint f(r \cos \theta, r \operatorname{sen} \theta) \mathbf{r} \cdot \boldsymbol{d r} . \boldsymbol{d} \boldsymbol{\theta} $, onde $ R=\{(r, \boldsymbol{\theta}) ; \mathbf{a} \leq \mathbf{r} \leq \mathbf{b} $ e $ \boldsymbol{\alpha} \leq \boldsymbol{\theta} \leq \boldsymbol{\beta}\} $. Considere a integral dupla $ \iint \mathbf{2 y} \mathbf{d A} $, onde $ R $ é a região representa no gráfico e limitada pelos círculos $ x^{2}+y^{2}=4, x^{2}+y^{2}=16 $ e pela função $ y=x $.

Considerando o enunciado e a gráfico. Assinale a alternativa que representa a integral polar.

Accepted Answer

Para converter a integral dupla dada em coordenadas cartesianas para coordenadas polares, precisamos usar as relações entre coordenadas cartesianas e polares:

- $ x = r \cos \theta $
- $ y = r \sin \theta $
- $ dA = r \, dr \, d\theta $

A função a ser integrada é $ 2y $, que em coordenadas polares se torna $ 2r \sin \theta $.

A região $ R $ é limitada pelos círculos $ x^2 + y^2 = 4 $ e $ x^2 + y^2 = 16 $, e pela linha $ y = x $. Em coordenadas polares, essas correspondências são:

- $ x^2 + y^2 = 4 $ se torna $ r = 2 $
- $ x^2 + y^2 = 16 $ se torna $ r = 4 $
- $ y = x $ se torna $ \theta = \frac{\pi}{4} $ (pois $ \tan \theta = 1 $)

Portanto, os limites de integração para $ r $ vão de 2 a 4, e para $ \theta $ vão de 0 a $ \frac{\pi}{4} $.

A integral dupla em coordenadas polares é então:

$$
\iint_R 2y \, dA = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \int_{2}^{4} 2r \sin \theta \cdot r \, dr \, d\theta
$$

Simplificando, temos:

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \int_{2}^{4} 2r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta
$$

**Resposta:**

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \int_{2}^{4} 2r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta
$$

Essa é a integral polar equivalente à integral dada no enunciado.

As coordenadas retangulares e as coordenadas polares se rela...

Ask a question and receive an answer instantly