Considere o sólido homogêneo, limitado pelo plano z = 0, pelo cilindro dado por x² + y² = 2y e pelo cone z = (x² + y²)^{1/2}, representado pela figura a seguir.

Calcule o centro de gravidade resolvendo passo a passo e usando integração em coordenadas cilíndricas.

Question

Considere o sólido homogêneo, limitado pelo plano z = 0, pelo cilindro dado por x² + y² = 2y e pelo cone z = (x² + y²)^{1/2}, representado pela figura a seguir.

Calcule o centro de gravidade resolvendo passo a passo e usando integração em coordenadas cilíndricas.

Accepted Answer

Para calcular o centro de gravidade do sólido homogêneo limitado pelo plano $ z = 0 $, pelo cilindro dado por $ x^2 + y^2 = 2y $ e pelo cone $ z = \sqrt{x^2 + y^2} $ usando coordenadas cilíndricas, siga os seguintes passos:

1. **Converter as equações para coordenadas cilíndricas:**

- O cilindro $ x^2 + y^2 = 2y $ se transforma em:
     $$
     r^2 = 2r\sin\theta \Rightarrow r = 2\sin\theta
     $$
   - O cone $ z = \sqrt{x^2 + y^2} $ se transforma em:
     $$
     z = r
     $$

2. **Definir os limites de integração:**

- $ r $ vai de 0 a $ 2\sin\theta $.
   - $ \theta $ vai de 0 a $ \pi $.
   - $ z $ vai de 0 a $ r $.

3. **Calcular o volume do sólido $ V $:**

A fórmula para o volume em coordenadas cilíndricas é:
   $$
   V = \iiint_W dV = \iiint_W r \, dr \, d\theta \, dz
   $$
   Integrando:
   $$
   V = \int_0^\pi \int_0^{2\sin\theta} \int_0^r r \, dz \, dr \, d\theta
   $$
   Primeiro integramos em $ z $:
   $$
   \int_0^r r \, dz = r[z]_0^r = r^2
   $$
   Então:
   $$
   V = \int_0^\pi \int_0^{2\sin\theta} r^2 \, dr \, d\theta
   $$
   Integramos em $ r $:
   $$
   \int_0^{2\sin\theta} r^2 \, dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^{2\sin\theta} = \frac{(2\sin\theta)^3}{3} = \frac{8\sin^3\theta}{3}
   $$
   Então:
   $$
   V = \int_0^\pi \frac{8\sin^3\theta}{3} \, d\theta
   $$
   Sabemos que:
   $$
   \int_0^\pi \sin^3\theta \, d\theta = \frac{4}{3}
   $$
   Portanto:
   $$
   V = \frac{8}{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{32}{9}
   $$

4. **Calcular as coordenadas do centro de gravidade:**

Como o sólido é simétrico em relação ao eixo $ z $, sabemos que $ \bar{x} = 0 $ e $ \bar{y} = 0 $. Vamos calcular $ \bar{z} $:

A fórmula para $ \bar{z} $ é:
   $$
   \bar{z} = \frac{1}{V} \iiint_W z \, dV
   $$
   Integrando:
   $$
   \iiint_W z \, dV = \int_0^\pi \int_0^{2\sin\theta} \int_0^r z r \, dz \, dr \, d\theta
   $$
   Primeiro integramos em $ z $:
   $$
   \int_0^r z r \, dz = r \left[ \frac{z^2}{2} \right]_0^r = r \cdot \frac{r^2}{2} = \frac{r^3}{2}
   $$
   Então:
   $$
   \iiint_W z \, dV = \int_0^\pi \int_0^{2\sin\theta} \frac{r^3}{2} \, dr \, d\theta
   $$
   Integramos em $ r $:
   $$
   \int_0^{2\sin\theta} \frac{r^3}{2} \, dr = \frac{1}{2} \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^{2\sin\theta} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2\sin\theta)^4}{4} = \frac{16\sin^4\theta}{8} = 2\sin^4\theta
   $$
   Então:
   $$
   \iiint_W z \, dV = \int_0^\pi 2\sin^4\theta \, d\theta
   $$
   Sabemos que:
   $$
   \int_0^\pi \sin^4\theta \, d\theta = \frac{3\pi}{8}
   $$
   Portanto:
   $$
   \iiint_W z \, dV = 2 \cdot \frac{3\pi}{8} = \frac{3\pi}{4}
   $$
   Finalmente:
   $$
   \bar{z} = \frac{\frac{3\pi}{4}}{\frac{32}{9}} = \frac{3\pi}{4} \cdot \frac{9}{32} = \frac{27\pi}{128}
   $$

Portanto, o centro de gravidade do sólido é:
$$
(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}) = \left(0, 0, \frac{27\pi}{128}\right)
$$

Considere o sólido homogêneo, limitado pelo plano z = 0, pel...

Considere o sólido homogêneo, limitado pelo plano z = 0, pelo cilindro dado por x² + y² = 2y e pelo cone z = (x² + y²)^{1/2}, representado pela figura a seguir.

Calcule o centro de gravidade resolvendo passo a passo e usando integração em coordenadas cilíndricas.

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