Em matemática, um ponto crítico, também chamado de ponto estacionário, é um ponto no domínio de uma função onde a primeira derivada é nula. Os pontos críticos serão sempre pontos de máximos ou mínimos relativos ou pontos de inflexão, podendo-se descobrir em que categoria o ponto cai analisando a sua segunda derivada (a curvatura) da função. Em matemática, a análise de máximos e mínimos (pontos críticos) possui diversas aplicações. Uma delas é na área fabril.Dessa forma, imagine que o custo em reais de fabricação de uma unidade de um certo produto é dado pela função C: [0, 24] → R, definida por C(x) = 2x3 - 66x2 + 432x + 3000, onde x representa a quantidade produzida. Determine o que se pede, para cada situação a seguir:
a) (2 pontos) Para a fabricação de 8 e 20 peças, determine o valor de custo para cada situação.
b) (3 pontos) Determine os pontos críticos da função custo.
c) (3 pontos) Verifique pela regra da derivada segunda, se os pontos críticos são de máximo ou mínimo.
d) (2 pontos) Identifique pela derivada segunda, o ponto de inflexão da função. Justifique o motivo de ser um ponto de inflexão. Dica: utilize os resultados obtidos nos itens anteriores.
Obs.: apresentar o desenvolvimento e raciocínio aplicado em cada item.

Question

Em matemática, um ponto crítico, também chamado de ponto estacionário, é um ponto no domínio de uma função onde a primeira derivada é nula. Os pontos críticos serão sempre pontos de máximos ou mínimos relativos ou pontos de inflexão, podendo-se descobrir em que categoria o ponto cai analisando a sua segunda derivada (a curvatura) da função. Em matemática, a análise de máximos e mínimos (pontos críticos) possui diversas aplicações. Uma delas é na área fabril.Dessa forma, imagine que o custo em reais de fabricação de uma unidade de um certo produto é dado pela função C: [0, 24] → R, definida por  C(x) = 2x3 - 66x2 + 432x + 3000, onde x representa a quantidade produzida. Determine o que se pede, para cada situação a seguir:
a) (2 pontos) Para a fabricação de 8 e 20 peças, determine o valor de custo para cada situação.
b) (3 pontos) Determine os pontos críticos da função custo.
c) (3 pontos) Verifique pela regra da derivada segunda, se os pontos críticos são de máximo ou mínimo.
d) (2 pontos) Identifique pela derivada segunda, o ponto de inflexão da função. Justifique o motivo de ser um ponto de inflexão. Dica: utilize os resultados obtidos nos itens anteriores.
Obs.: apresentar o desenvolvimento e raciocínio aplicado em cada item.

Accepted Answer

**Resposta:**

**a)**

Para calcular o custo de fabricação de 8 e 20 peças, simplemente substituímos `x` na função fornecida $ C(x) = 2x^3 - 66x^2 + 432x + 3000 $.

Para $ x = 8 $:
$$ C(8) = 2(8)^3 - 66(8)^2 + 432(8) + 3000 = 2(512) - 66(64) + 3456 + 3000 $$
$$ C(8) = 1024 - 4224 + 3456 + 3000 = 3256 $$

Para $ x = 20 $:
$$ C(20) = 2(20)^3 - 66(20)^2 + 432(20) + 3000 = 2(8000) - 66(400) + 8640 + 3000 $$
$$ C(20) = 16000 - 26400 + 8640 + 3000 = 4240 $$

Portanto, o custo para 8 peças é de 3256 reais, e para 20 peças, 4240 reais.

**b)**

Para encontrar os pontos críticos, devemos calcular a primeira derivada de $ C(x) $ e igualá-la a zero:
$$ C'(x) = 6x^2 - 132x + 432 $$
Resolvendo $ 6x^2 - 132x + 432 = 0 $:
Dividimos toda a equação por 6:
$$ x^2 - 22x + 72 = 0 $$
Resolvendo a equação quadrática:
$$ x = \frac{-(-22) \pm \sqrt{(-22)^2 - 4 \cdot 72}}{2} = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 288}}{2} = \frac{22 \pm \sqrt{196}}{2} $$
$$ x = \frac{22 \pm 14}{2} $$
$$ x = 18 \quad \text{ou} \quad x = 4 $$

Os pontos críticos são $ x = 4 $ e $ x = 18 $.

**c)**

A segunda derivada $ C''(x) $ é:
$$ C''(x) = 12x - 132 $$

Para $ x = 4 $:
$$ C''(4) = 12 \cdot 4 - 132 = 48 - 132 = -84 $$
Este valor é negativo, indicando um ponto de máximo.

Para $ x = 18 $:
$$ C''(18) = 12 \cdot 18 - 132 = 216 - 132 = 84 $$
Este valor é positivo, indicando um ponto de mínimo.

**d)**
A segunda derivada já foi calculada como $ C''(x) = 12x - 132 $. Para encontrar o ponto de inflexão, encontramos onde $$ C''(x) = 0 $$:
$$ 12x - 132 = 0 $$
$$ 12x = 132 $$
$$ x = 11 $$

Verificando a concavidade:
- $ C''(10) = 12 \cdot 10 - 132 = -12 $ (concavidade para baixo)
- $ C''(12) = 12 \cdot 12 - 132 = 12 $ (concavidade para cima)

Assim, $ x = 11 $ é um ponto de inflexão e há mudança de concavidade passando por este ponto, de negativa para positiva.

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