A derivada mista de segunda ordem de uma função f(x, y) pode ser representada por $ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} $ ou $ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} $. Então, podemos afirmar que o valor aproximado de $ f_{xy} $ no ponto $ \left( \frac{\pi}{2}, 2 \right) $ da função $ f(x, y) = 2xy^2 - 3x^2y + y \cos(x) $, é:

Q: A derivada mista de segunda ordem de uma função f(x, y) pode ser representada por $ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} $ ou $ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} $. Então, podemos afirmar que o valor aproximado de $ f_{xy} $ no ponto $ \left( \frac{\pi}{2}, 2 \right) $ da função $ f(x, y) = 2xy^2 - 3x^2y + y \cos(x) $, é:

Para encontrar o valor aproximado de $ f_{xy} $ no ponto $\left(\frac{\pi}{2}, 2\right)$ da função $ f(x, y) = 2xy^2 - 3x^2y + y\cos(x) $, precisamos seguir os seguintes passos: 1. **Calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:** \[ f_x = \frac{\partial}{\partial x}(2xy^2 - 3x^2y + y\cos(x)) = 2y^2 - 6xy - y\sin(x) \] 2. **Calcular a derivada parcial de $ f_x $ em relação a $ y $:** \[ f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(2y^2 - 6xy - y\sin(x)) = 4y - 6x - \sin(x) \] 3. **Avaliar $ f_{xy} $ no ponto $\left(\frac{\pi}{2}, 2\right)$:** \[ f_{xy}\left(\frac{\pi}{2}, 2\right) = 4(2) - 6\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \] \[ = 8 - 3\pi - 1 \] \[ = 7 - 3\pi \] Calculando aproximadamente, considerando $\pi \approx 3.14$: \[ 7 - 3(3.14) = 7 - 9.42 = -2.42 \] Portanto, o valor aproximado é **-2,4**. **Resposta: -2,4**

Question

Accepted Answer

Para encontrar o valor aproximado de $ f_{xy} $ no ponto $\left(\frac{\pi}{2}, 2\right)$ da função $ f(x, y) = 2xy^2 - 3x^2y + y\cos(x) $, precisamos seguir os seguintes passos:

1. **Calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:**

$$
f_x = \frac{\partial}{\partial x}(2xy^2 - 3x^2y + y\cos(x)) = 2y^2 - 6xy - y\sin(x)
$$

2. **Calcular a derivada parcial de $ f_x $ em relação a $ y $:**

$$
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(2y^2 - 6xy - y\sin(x)) = 4y - 6x - \sin(x)
$$

3. **Avaliar $ f_{xy} $ no ponto $\left(\frac{\pi}{2}, 2\right)$:**

$$
f_{xy}\left(\frac{\pi}{2}, 2\right) = 4(2) - 6\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)
$$

$$
= 8 - 3\pi - 1
$$

$$
= 7 - 3\pi
$$

Calculando aproximadamente, considerando $\pi \approx 3.14$:

$$
7 - 3(3.14) = 7 - 9.42 = -2.42
$$

Portanto, o valor aproximado é **-2,4**.

**Resposta: -2,4**