Os pontos (1,3), (2,7) e (4,K) do plano cartesiano estão alinhados se K valer?

Q: Os pontos (1,3), (2,7) e (4,K) do plano cartesiano estão alinhados se K valer?

Para que os pontos $(1,3)$, $(2,7)$ e $(4,K)$ estejam alinhados, eles devem estar na mesma linha reta. Podemos verificar isso calculando o determinante da matriz formada pelas coordenadas desses pontos. Se o determinante for igual a zero, então os pontos estão alinhados. A matriz é dada por: \[ \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ \end{vmatrix} \] Substituindo os pontos $(1,3)$, $(2,7)$ e $(4,K)$, temos: \[ \begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 7 & 1 \\ 4 & K & 1 \\ \end{vmatrix} \] Calculando o determinante: \[ \begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 7 & 1 \\ 4 & K & 1 \\ \end{vmatrix} = 1 \cdot (7 \cdot 1 - K \cdot 1) - 3 \cdot (2 \cdot 1 - 4 \cdot 1) + 1 \cdot (2 \cdot K - 4 \cdot 7) \] Simplificando: \[ = 1 \cdot (7 - K) - 3 \cdot (2 - 4) + 1 \cdot (2K - 28) \] \[ = 7 - K - 3 \cdot (-2) + 2K - 28 \] \[ = 7 - K + 6 + 2K - 28 \] \[ = 7 + 6 - 28 - K + 2K \] \[ = -15 + K \] Para que os pontos estejam alinhados, o determinante deve ser igual a zero: \[ -15 + K = 0 \] Portanto: \[ K = 15 \] **Resposta: $K = 15$**

Question

Accepted Answer

Para que os pontos $(1,3)$, $(2,7)$ e $(4,K)$ estejam alinhados, eles devem estar na mesma linha reta. Podemos verificar isso calculando o determinante da matriz formada pelas coordenadas desses pontos. Se o determinante for igual a zero, então os pontos estão alinhados.

A matriz é dada por:

$$
\begin{vmatrix}
x_1 & y_1 & 1 \
x_2 & y_2 & 1 \
x_3 & y_3 & 1 \
\end{vmatrix}
$$

Substituindo os pontos $(1,3)$, $(2,7)$ e $(4,K)$, temos:

$$
\begin{vmatrix}
1 & 3 & 1 \
2 & 7 & 1 \
4 & K & 1 \
\end{vmatrix}
$$

Calculando o determinante:

$$
\begin{vmatrix}
1 & 3 & 1 \
2 & 7 & 1 \
4 & K & 1 \
\end{vmatrix} = 1 \cdot (7 \cdot 1 - K \cdot 1) - 3 \cdot (2 \cdot 1 - 4 \cdot 1) + 1 \cdot (2 \cdot K - 4 \cdot 7)
$$

Simplificando:

$$
= 1 \cdot (7 - K) - 3 \cdot (2 - 4) + 1 \cdot (2K - 28)
$$
$$
= 7 - K - 3 \cdot (-2) + 2K - 28
$$
$$
= 7 - K + 6 + 2K - 28
$$
$$
= 7 + 6 - 28 - K + 2K
$$
$$
= -15 + K
$$

Para que os pontos estejam alinhados, o determinante deve ser igual a zero:

$$
-15 + K = 0
$$

Portanto:

$$
K = 15
$$

**Resposta: $K = 15$**

Os pontos (1,3), (2,7) e (4,K) do plano cartesiano estão ali...

Os pontos (1,3), (2,7) e (4,K) do plano cartesiano estão alinhados se K valer?

Ask a question and receive an answer instantly