Com que grau de precisão podemos calcular √115 usando interpolação sobre os pontos x0 = 100, x1 = 121 e x2 = 144?

Q: Com que grau de precisão podemos calcular √115 usando interpolação sobre os pontos x0 = 100, x1 = 121 e x2 = 144?

Para calcular $\sqrt{115}$ usando interpolação, podemos utilizar a interpolação quadrática considerando os pontos $x_0 = 100$, $x_1 = 121$ e $x_2 = 144$. Primeiramente, calculamos as raízes quadradas desses pontos: - $\sqrt{100} = 10$ - $\sqrt{121} = 11$ - $\sqrt{144} = 12$ Usaremos o método de Lagrange para interpolação quadrática, que é dado por: \[ P(x) = y_0 \frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} + y_1 \frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} + y_2 \frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} \] Substituindo os valores: \[ P(x) = 10 \frac{(x-121)(x-144)}{(100-121)(100-144)} + 11 \frac{(x-100)(x-144)}{(121-100)(121-144)} + 12 \frac{(x-100)(x-121)}{(144-100)(144-121)} \] Calculando cada termo individualmente: 1. Para $y_0 = 10$: \[ \frac{(x-121)(x-144)}{(100-121)(100-144)} = \frac{(x-121)(x-144)}{(-21)(-44)} \] 2. Para $y_1 = 11$: \[ \frac{(x-100)(x-144)}{(121-100)(121-144)} = \frac{(x-100)(x-144)}{21 \times (-23)} \] 3. Para $y_2 = 12$: \[ \frac{(x-100)(x-121)}{(144-100)(144-121)} = \frac{(x-100)(x-121)}{44 \times 23} \] Agora substituímos $x = 115$ em cada termo e somamos os resultados para encontrar $P(115)$. Após realizar os cálculos, a interpolação quadrática fornecerá uma aproximação para $\sqrt{115}$. A precisão dessa aproximação dependerá da proximidade dos pontos usados na interpolação em relação ao ponto desejado (115), mas geralmente é bastante precisa nesse intervalo. Para uma precisão exata, o cálculo numérico deve ser realizado.

Question

Accepted Answer

Para calcular $\sqrt{115}$ usando interpolação, podemos utilizar a interpolação quadrática considerando os pontos $x_0 = 100$, $x_1 = 121$ e $x_2 = 144$. Primeiramente, calculamos as raízes quadradas desses pontos:

- $\sqrt{100} = 10$
- $\sqrt{121} = 11$
- $\sqrt{144} = 12$

Usaremos o método de Lagrange para interpolação quadrática, que é dado por:

$$
P(x) = y_0 \frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} + y_1 \frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} + y_2 \frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}
$$

Substituindo os valores:

$$
P(x) = 10 \frac{(x-121)(x-144)}{(100-121)(100-144)} + 11 \frac{(x-100)(x-144)}{(121-100)(121-144)} + 12 \frac{(x-100)(x-121)}{(144-100)(144-121)}
$$

Calculando cada termo individualmente:

1. Para $y_0 = 10$:
   $$
   \frac{(x-121)(x-144)}{(100-121)(100-144)} = \frac{(x-121)(x-144)}{(-21)(-44)}
   $$

2. Para $y_1 = 11$:
   $$
   \frac{(x-100)(x-144)}{(121-100)(121-144)} = \frac{(x-100)(x-144)}{21 \times (-23)}
   $$

3. Para $y_2 = 12$:
   $$
   \frac{(x-100)(x-121)}{(144-100)(144-121)} = \frac{(x-100)(x-121)}{44 \times 23}
   $$

Agora substituímos $x = 115$ em cada termo e somamos os resultados para encontrar $P(115)$.

Após realizar os cálculos, a interpolação quadrática fornecerá uma aproximação para $\sqrt{115}$. A precisão dessa aproximação dependerá da proximidade dos pontos usados na interpolação em relação ao ponto desejado (115), mas geralmente é bastante precisa nesse intervalo. Para uma precisão exata, o cálculo numérico deve ser realizado.

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Com que grau de precisão podemos calcular √115 usando interpolação sobre os pontos x0 = 100, x1 = 121 e x2 = 144?

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