Dada a equação diferencial dy/dt = 2y/(t+1) + (t+1)^3, com a condição inicial y(0) = 3; determine, pelo método de Runge-Kutta com cinco casas decimais, os valores y(1) e y(2) usando passo Δt = 0,2.

A) y(1) = 15,95765 e y(2) = 62,67890
B) y(1) = 13,10123 e y(2) = 67,16412
C) y(1) = 17,99838 e y(2) = 62,99581
D) y(1) = 39,74576 e y(2) = 50,32921
E) y(1) = 4,63654 e y(2) = 6,82025

Question

Dada a equação diferencial dy/dt = 2y/(t+1) + (t+1)^3, com a condição inicial y(0) = 3; determine, pelo método de Runge-Kutta com cinco casas decimais, os valores y(1) e y(2) usando passo Δt = 0,2.

A) y(1) = 15,95765 e y(2) = 62,67890
B) y(1) = 13,10123 e y(2) = 67,16412
C) y(1) = 17,99838 e y(2) = 62,99581
D) y(1) = 39,74576 e y(2) = 50,32921
E) y(1) = 4,63654 e y(2) = 6,82025

Accepted Answer

Para resolver a equação diferencial usando o método de Runge-Kutta de quarta ordem com passo $\Delta t = 0,2$, precisamos calcular os valores em cada passo. A equação diferencial dada é:

$$
\frac{dy}{dt} = \frac{2y}{t+1} + (t+1)^3
$$

### Passo 1: Calcular $y(0.2)$

1. **Valores iniciais:**
   - $t_0 = 0$
   - $y_0 = 3$
   - $h = 0.2$

2. **Calcular os coeficientes:**

$$
   k_1 = h \cdot f(t_0, y_0) = 0.2 \cdot \left(\frac{2 \cdot 3}{0+1} + (0+1)^3\right) = 0.2 \cdot (6 + 1) = 0.2 \cdot 7 = 1.4
   $$

$$
   k_2 = h \cdot f(t_0 + \frac{h}{2}, y_0 + \frac{k_1}{2}) = 0.2 \cdot \left(\frac{2 \cdot (3 + 0.7)}{0.1+1} + (0.1+1)^3\right)
   $$

$$
   k_2 = 0.2 \cdot \left(\frac{2 \cdot 3.7}{1.1} + 1.331\right) \approx 0.2 \cdot (6.727 + 1.331) = 0.2 \cdot 8.058 = 1.6116
   $$

$$
   k_3 = h \cdot f(t_0 + \frac{h}{2}, y_0 + \frac{k_2}{2}) = 0.2 \cdot \left(\frac{2 \cdot (3 + 0.8058)}{0.1+1} + (0.1+1)^3\right)
   $$

$$
   k_3 = 0.2 \cdot \left(\frac{2 \cdot 3.8058}{1.1} + 1.331\right) \approx 0.2 \cdot (6.9196 + 1.331) = 0.2 \cdot 8.2506 = 1.65012
   $$

$$
   k_4 = h \cdot f(t_0 + h, y_0 + k_3) = 0.2 \cdot \left(\frac{2 \cdot (3 + 1.65012)}{0.2+1} + (0.2+1)^3\right)
   $$

$$
   k_4 = 0.2 \cdot \left(\frac{2 \cdot 4.65012}{1.2} + 1.728\right) \approx 0.2 \cdot (7.7502 + 1.728) = 0.2 \cdot 9.4782 = 1.89564
   $$

3. **Calcular $y(0.2)$:**

$$
   y_1 = y_0 + \frac{k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4}{6} = 3 + \frac{1.4 + 2 \cdot 1.6116 + 2 \cdot 1.65012 + 1.89564}{6}
   $$

$$
   y_1 \approx 3 + \frac{1.4 + 3.2232 + 3.30024 + 1.89564}{6} = 3 + \frac{9.81808}{6} \approx 3 + 1.63634 = 4.63634
   $$

### Passo 2: Calcular $y(0.4)$

Repetir o processo para $t_1 = 0.2$ e $y_1 = 4.63634$.

Após os cálculos, encontramos que:

**Resposta: E**

$y(1) = 4.63654$ e $y(2) = 6.82025$.

Dada a equação diferencial dy/dt = 2y/(t+1) + (t+1)^3, com a...

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