O que é o divergente de um campo vetorial?

Question

Accepted Answer

O divergente de um campo vetorial é uma operão matemática que mede a magnitude da fonte ou do sumidouro de um campo vetorial em um ponto dado. De forma mais intuitiva, o divergente em um ponto pode ser entendido como a taxa na qual a densidade de fluxo se expande ou contrai em torno desse ponto.

Para um campo vetorial tridimensional $\mathbf{F} = P\mathbf{i} + Q\mathbf{j} + R\mathbf{k}$, onde $P$, $Q$, e $R$ são as componentes do campo nas direções $x$, $y$, e $z$ respectivamente, e $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$, $\mathbf{k}$ são os vetores unitários nessas direções, o divergente de $\mathbf{F}$ é dado por:

$$
\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}
$$

Aqui, $\nabla \cdot$ representa o operador de divergência, e $\frac{\partial}{\partial x}$, $\frac{\partial}{\partial y}$, e $\frac{\partial}{\partial z}$ representam as derivadas parciais em relação às coordenadas $x$, $y$, e $z$, respectivamente.

Se o divergente de um campo vetorial em um ponto é positivo, isso indica que o ponto atua como uma fonte de fluxo do campo. Se é negativo, o ponto atua como um sumidouro. Se o divergente é zero, isso indica que o campo é solenoidal nesse ponto, significando que o campo não tem nem fontes nem sumidouros nesse ponto; o fluxo que entra é igual ao fluxo que sai.

O conceito de divergência é amplamente utilizado em várias áreas da física e da engenharia, como em eletromagnetismo, mecânica dos fluidos, e teoria do potencial, para descrever fenômenos associados à distribuição de cargas, massas ou qualquer outra propriedade que possa ser representada por um campo vetorial.