Um capacitor de capacitância 2 μF, inicialmente descarregado,foi conectado em série com um resistor de 8 kΩ e uma bateria. Quanto tempo leva para que o capacitor atinja 19% da sua carga máxima? Escreva sua resposta em unidades de mili segundo, com pelo menos uma casa decimal.

Question

Accepted Answer

Para resolver o problema, precisamos usar a fórmula que descreve a carga $ Q(t) $ em um capacitor ao longo do tempo quando ele é carregado através de um resistor:

$$ Q(t) = Q_{\text{max}} \left(1 - e^{-\frac{t}{RC}}\right) $$

onde:
- $ Q(t) $ é a carga no capacitor no tempo $ t $,
- $ Q_{\text{max}} $ é a carga máxima do capacitor,
- $ R $ é a resistência,
- $ C $ é a capacitância,
- $ t $ é o tempo.

Queremos encontrar o tempo $ t $ para que o capacitor atinja 19% da sua carga máxima. Isso significa que $ Q(t) = 0.19 \cdot Q_{\text{max}} $.

Substituímos isso na equação:

$$ 0.19 \cdot Q_{\text{max}} = Q_{\text{max}} \left(1 - e^{-\frac{t}{RC}}\right) $$

Dividimos ambos os lados por $ Q_{\text{max}} $:

$$ 0.19 = 1 - e^{-\frac{t}{RC}} $$

Isolamos a exponencial:

$$ e^{-\frac{t}{RC}} = 1 - 0.19 $$
$$ e^{-\frac{t}{RC}} = 0.81 $$

Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para $ t $:

$$ -\frac{t}{RC} = \ln(0.81) $$

$$ t = -RC \cdot \ln(0.81) $$

Agora, substituímos os valores dados:
- $ R = 8 \, \text{k}\Omega = 8000 \, \Omega $
- $ C = 2 \, \mu\text{F} = 2 \times 10^{-6} \, \text{F} $

$$ t = -(8000 \, \Omega)(2 \times 10^{-6} \, \text{F}) \cdot \ln(0.81) $$

Calculamos:

$$ t = -16000 \times 10^{-6} \cdot \ln(0.81) $$
$$ t = -0.016 \cdot \ln(0.81) $$

Sabemos que $ \ln(0.81) \approx -0.2107 $:

$$ t = -0.016 \times (-0.2107) $$
$$ t = 0.0033712 \, \text{s} $$

Convertendo para milissegundos:

$$ t = 0.0033712 \, \text{s} \times 1000 \, \frac{\text{ms}}{\text{s}} $$
$$ t \approx 3.4 \, \text{ms} $$

Portanto, o tempo necessário para que o capacitor atinja 19% da sua carga máxima é **3.4 ms**.

Um capacitor de capacitância 2 μF, inicialmente descarregado...

Um capacitor de capacitância 2 μF, inicialmente descarregado,foi conectado em série com um resistor de 8 kΩ e uma bateria. Quanto tempo leva para que o capacitor atinja 19% da sua carga máxima? Escreva sua resposta em unidades de mili segundo, com pelo menos uma casa decimal.

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