f(x) 1 2x+3' g(x) = 1-x-x2 2x2-7 e h(x) = √x+x² 2x-x2
Analise as afirmativas seguintes.
1. limx→∞ (2+3) = 0 1
II. limx→∞ 2x2-7= - 1 - 2
√x+x² III. limx→∞ 2x-x2 =-1

Question

f(x) 1 2x+3' g(x) = 1-x-x2 2x2-7 e h(x) = √x+x² 2x-x2
Analise as afirmativas seguintes.
1. limx→∞ (2+3) = 0 1
II. limx→∞ 2x2-7= - 1 - 2 
√x+x² III. limx→∞ 2x-x2 =-1

Accepted Answer

Para analisar as afirmativas, vamos calcular cada um dos limites mencionados.

### I. $ \lim_{x \to \infty} \frac{2+3}{1} $

Essa expressão não depende de $x$, então o limite é simplesmente o valor da expressão:

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{2+3}{1} = \frac{5}{1} = 5 $$

Portanto, a afirmativa I é **incorreta**, pois o limite não é 0.

### II. $ \lim_{x \to \infty} \frac{1-x-x^2}{2x^2-7} $

Para calcular este limite, vamos dividir todos os termos pelo maior grau de $x$ presente no denominador, que é $x^2$:

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^2}-\frac{x}{x^2}-1}{2-\frac{7}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{0-0-1}{2-0} = -\frac{1}{2} $$

Portanto, a afirmativa II é **correta**.

### III. $ \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}+x^2}{2x-x^2} $

Primeiro, perceba que tanto o numerador quanto o denominador crescem indefinidamente à medida que $x$ se aproxima do infinito, mas em taxas diferentes. Vamos simplificar essa expressão dividindo o numerador e o denominador pelo termo de maior grau no denominador, que é $x$. No entanto, para lidar com a raiz quadrada, consideraremos a divisão por $x$ no numerador de forma mais cuidadosa:

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x}}{x^{1/2}}+x^2/x}{2-\frac{x^2}{x}} $$
$$ = \lim_{x \to \infty} \frac{1+x}{2-x} $$

Aqui, fizemos uma simplificação inadequada ao tratar a raiz quadrada, pois a divisão correta deveria considerar o comportamento assintótico de $x$ para termos de ordem diferente. O correto seria analisar o comportamento dominante no numerador e no denominador separadamente:

- No numerador, $x^2$ domina sobre $\sqrt{x}$ conforme $x$ cresce.
- No denominador, $2x$ e $-x^2$ são de ordens comparáveis, mas o termo negativo domina eventualmente.

Assim, o comportamento dominante do limite seria determinado pela razão dos termos dominantes $\frac{x^2}{-x^2}$, que tenderia a $-1$. No entanto, a análise inicial foi simplificada demais e não reflete adequadamente o problema proposto. A correta abordagem para este tipo de limite envolveria uma análise mais detalhada dos termos dominantes, especialmente considerando o impacto de $\sqrt{x}$ e $x^2$ no comportamento assintótico da função.

Por isso, minha explicação anterior para a III foi simplista e potencialmente enganosa. A abordagem correta seria observar que, conforme $x$ cresce, o termo $x^2$ no numerador e no denominador se torna o mais influente, mas a presença de $2x$ e $\sqrt{x}$ requer uma análise cuidadosa para entender como eles afetam o limite. Sem uma expressão clara para reavaliar, reconheço que a conclusão precisa sobre o limite na III não foi adequadamente estabelecida com as informações fornecidas.

f(x) 1 2x+3' g(x) = 1-x-x2 2x2-7 e h(x) = √x+x² 2x-x2 Analise as afirmativas seguintes. 1. limx→∞ (2+3) = 0 1 II. limx→∞ 2x2-7= - 1 - 2 √x+x² III. limx→∞ 2x-x2 =-1

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