12) para as funções abaixo determine:

a) a concavidade;
b) os zeros;
c) as coordenadas do vértice (máximo ou mínimo);
d) interseção com o eixo y;
e) esboços do gráfico;
f) o conjunto imagem, sendo dominio {-5, -1, 9, 12}

1°) f(x) y = x² - 4x + 3
2°) f(x) y = -x² + 6x
3°) f(x) y = x² - 2x + 5
4°) f (x) y = -x² + 2x -1

13) (UFMG) Sendo f: R - R uma função definida por f(x) = x² -1, calcule:

a) f(1/2)
b) f(1 - √2)

14) Para que valores reais de k a função f(x) = 2x² + 5x + k + 3 admite duas raizes reais e distintas?

Question

12) para as funções abaixo determine:

a) a concavidade;
b) os zeros;
c) as coordenadas do vértice (máximo ou mínimo);
d) interseção com o eixo y;
e) esboços do gráfico;
f) o conjunto imagem, sendo dominio {-5, -1, 9, 12}

1°) f(x) y = x² - 4x + 3
2°) f(x) y = -x² + 6x
3°) f(x) y = x² - 2x + 5
4°) f (x) y = -x² + 2x -1

13) (UFMG) Sendo f: R -> R uma função definida por f(x) = x² -1, calcule:

a) f(1/2)
b) f(1 - √2)

14) Para que valores reais de k a função f(x) = 2x² + 5x + k + 3 admite duas raizes reais e distintas?

Accepted Answer

Vamos resolver cada item das questões propostas. ### Questão 12: Para cada função quadrática, vamos determinar os itens solicitados: #### 1°) $ f(x) = x^2 - 4x + 3 $ a) **Concavidade:** Como o coeficiente de $ x^2 $ é positivo ($a = 1$), a parábola é côncava para cima. b) **Zeros:** Resolveremos a equação $ x^2 - 4x + 3 = 0 $. $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} $$ Os zeros são $ x = 3 $ e $ x = 1 $. c) **Coordenadas do vértice:** O vértice $ (h, k) $ é dado por $ h = -\frac{b}{2a} $ e $ k = f(h) $. $$ h = \frac{4}{2 \cdot 1} = 2, \quad k = f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = -1 $$ O vértice é $ (2, -1) $. d) **Interseção com o eixo y:** Quando $ x = 0 $, $ f(0) = 3 $. Portanto, a interseção é $ (0, 3) $. e) **Esboço do gráfico:** A parábola abre para cima, tem zeros em $ x = 1 $ e $ x = 3 $, e vértice em $ (2, -1) $. f) **Conjunto imagem para o domínio $\{-5, -1, 9, 12\}$:** $$ f(-5) = 25 + 20 + 3 = 48, \quad f(-1) = 1 + 4 + 3 = 8 $$ $$ f(9) = 81 - 36 + 3 = 48, \quad f(12) = 144 - 48 + 3 = 99 $$ Conjunto imagem: $\{48, 8, 99\}$. #### 2°) $ f(x) = -x^2 + 6x $ a) **Concavidade:** Coeficiente de $ x^2 $ é negativo ($a = -1$), parábola côncava para baixo. b) **Zeros:** $ -x^2 + 6x = 0 \Rightarrow x(x - 6) = 0 $ Zeros: $ x = 0 $ e $ x = 6 $. c) **Coordenadas do vértice:** $$ h = \frac{-6}{2 \cdot (-1)} = 3, \quad k = f(3) = -(3)^2 + 6 \cdot 3 = 9 $$ Vértice: $ (3, 9) $. d) **Interseção com o eixo y:** $ f(0) = 0 $. e) **Esboço do gráfico:** Parábola abre para baixo, zeros em $ x = 0 $ e $ x = 6 $, vértice em $ (3, 9) $. f) **Conjunto imagem para o domínio $\{-5, -1, 9, 12\}$:** $$ f(-5) = -25 - 30 = -55, \quad f(-1) = -1 - 6 = -7 $$ $$ f(9) = -81 + 54 = -27, \quad f(12) = -144 + 72 = -72 $$ Conjunto imagem: $\{-55, -7, -27, -72\}$. #### 3°) $ f(x) = x^2 - 2x + 5 $ a) **Concavidade:** Coeficiente de $ x^2 $ é positivo ($a = 1$), parábola côncava para cima. b) **Zeros:** Discriminante $\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$. Sem raízes reais. c) **Coordenadas do vértice:** $$ h = \frac{2}{2 \cdot 1} = 1, \quad k = f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 + 5 = 4 $$ Vértice: $ (1, 4) $. d) **Interseção com o eixo y:** $ f(0) = 5 $. e) **Esboço do gráfico:** Parábola abre para cima, vértice em $ (1, 4) $, sem interseções reais no eixo x. f) **Conjunto imagem para o domínio $\{-5, -1, 9, 12\}$:** $$ f(-5) = 25 + 10 + 5 = 40, \quad f(-1) = 1 + 2 + 5 = 8 $$ $$ f(9) = 81 - 18 + 5 = 68, \quad f(12) = 144 - 24 + 5 = 125 $$ Conjunto imagem: $\{40, 8, 68, 125\}$. #### 4°) $ f(x) = -x^2 + 2x - 1 $ a) **Concavidade:** Coeficiente de $ x^2 $ é negativo ($a = -1$), parábola côncava para baixo. b) **Zeros:** Resolveremos a equação $ -x^2 + 2x - 1 = 0 $. $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-1)}}{-2} = \frac{-2 \pm \sqrt{0}}{-2} = 1 $$ Zero duplo em $ x = 1 $. c) **Coordenadas do vértice:** $$ h = \frac{-2}{2 \cdot (-1)} = 1, \quad k = f(1) = -(1)^2 + 2 \cdot 1 - 1 = 0 $$ Vértice: $ (1, 0) $. d) **Interseção com o eixo y:** $ f(0) = -1 $. e) **Esboço do gráfico:** Parábola abre para baixo, vértice em $ (1, 0) $, zero duplo em $ x = 1 $. f) **Conjunto imagem para o domínio $\{-5, -1, 9, 12\}$:** $$ f(-5) = -25 - 10 - 1 = -36, \quad f(-1) = -1 - 2 - 1 = -4 $$ $$ f(9) = -81 + 18 - 1 = -64, \quad f(12) = -144 + 24 - 1 = -121 $$ Conjunto imagem: $\{-36, -4, -64, -121\}$. ### Questão 13: $ f(x) = x^2 - 1 $ a) **$ f\left(\frac{1}{2}\right) $:** $$ f\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 1 = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4} $$ b) **$ f(1 - \sqrt{2}) $:** $$ f(1 - \sqrt{2}) = (1 - \sqrt{2})^2 - 1 = 1 - 2\sqrt{2} + 2 - 1 = 2 - 2\sqrt{2} $$ ### Questão 14: Para que a função $ f(x) = 2x^2 + 5x + k + 3 $ tenha duas raízes reais e distintas, o discriminante deve ser maior que zero: $$ b^2 - 4ac > 0 \Rightarrow 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (k + 3) > 0 $$ $$ 25 - 8(k + 3) > 0 \Rightarrow 25 - 8k - 24 > 0 $$ $$ 1 > 8k \Rightarrow k < \frac{1}{8} $$ Portanto, para $ k < \frac{1}{8} $, a função admite duas raízes reais e distintas.

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