19) A área do triângulo equilátero OAB, representado na figura a seguir é 9√3 cm². A área do círculo de centro O e tangente ao lado AB do triângulo é, em centímetros quadrados.

a) 27 π
b) 32 π
c) 36 π
d) 42 π
e) 48 π

Question

19) A área do triângulo equilátero OAB, representado na figura a seguir é 9√3 cm². A área do círculo de centro O e tangente ao lado AB do triângulo é, em centímetros quadrados.

a) 27 π
b) 32 π
c) 36 π
d) 42 π
e) 48 π

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos seguir os seguintes passos:

1. Encontrar o lado do triângulo equilátero $ OAB $ usando a área fornecida.
2. Calcular a altura do triângulo.
3. Determinar o raio do círculo que é igual à altura do triângulo.
4. Calcular a área do círculo.

### Passo 1: Encontrar o lado do triângulo equilátero

A fórmula da área de um triângulo equilátero é:
$$
A = \frac{s^2 \sqrt{3}}{4}
$$
onde $ A $ é a área e $ s $ é o lado do triângulo.

Dado que a área é $ 9\sqrt{3} \, \text{cm}^2 $:
$$
9\sqrt{3} = \frac{s^2 \sqrt{3}}{4}
$$

Multiplicando ambos os lados por 4:
$$
36\sqrt{3} = s^2 \sqrt{3}
$$

Dividindo ambos os lados por $\sqrt{3}$:
$$
36 = s^2
$$

Portanto:
$$
s = 6 \, \text{cm}
$$

### Passo 2: Calcular a altura do triângulo

A altura $ h $ de um triângulo equilátero pode ser calculada pela fórmula:
$$
h = \frac{s \sqrt{3}}{2}
$$

Substituindo $ s = 6 $:
$$
h = \frac{6 \sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \, \text{cm}
$$

### Passo 3: Determinar o raio do círculo

O raio do círculo $ R $ é igual à altura do triângulo:
$$
R = 3\sqrt{3} \, \text{cm}
$$

### Passo 4: Calcular a área do círculo

A área $ A $ do círculo é dada por:
$$
A = \pi R^2
$$

Substituindo $ R = 3\sqrt{3} $:
$$
A = \pi (3\sqrt{3})^2 = \pi (9 \cdot 3) = 27\pi \, \text{cm}^2
$$

Portanto, a área do círculo é:

**Resposta: a) 27π**

19) A área do triângulo equilátero OAB, representado na figu...

A área do triângulo equilátero OAB, representado na figura a seguir é 9√3 cm². A área do círculo de centro O e tangente ao lado AB do triângulo é, em centímetros quadrados.

a) 27 π b) 32 π c) 36 π d) 42 π e) 48 π

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19) A área do triângulo equilátero OAB, representado na figu...

A área do triângulo equilátero OAB, representado na figura a seguir é 9√3 cm². A área do círculo de centro O e tangente ao lado AB do triângulo é, em centímetros quadrados. a) 27 π b) 32 π c) 36 π d) 42 π e) 48 π

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A área do triângulo equilátero OAB, representado na figura a seguir é 9√3 cm². A área do círculo de centro O e tangente ao lado AB do triângulo é, em centímetros quadrados.

a) 27 π b) 32 π c) 36 π d) 42 π e) 48 π