28. (Ence-RJ) A figura abaixo representa um hexágono regular.

Calcule:
a) a medida do seu apótema;
b) a área da região colorida de verde.

Question

28. (Ence-RJ) A figura abaixo representa um hexágono regular.

Calcule:
a) a medida do seu apótema;
b) a área da região colorida de verde.

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos calcular:

### a) A medida do apótema do hexágono regular

O apótema $a$ de um hexágono regular pode ser calculado usando a fórmula:

$$
a = \frac{s \sqrt{3}}{2}
$$

onde $s$ é o lado do hexágono. Como o hexágono é regular e o raio (distância do centro a um vértice) é igual ao lado, temos $s = 4 \, \text{cm}$.

Substituindo na fórmula:

$$
a = \frac{4 \sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \, \text{cm}
$$

### b) A área da região colorida de verde

A região colorida de verde é composta por dois segmentos circulares. Cada segmento é formado por um setor de círculo menos um triângulo equilátero.

#### Área do setor circular

O setor circular tem um ângulo de $60^\circ$ (ou $\frac{\pi}{3}$ radianos), pois é um dos ângulos internos do hexágono regular. A área do setor circular é:

$$
A_{\text{setor}} = \frac{\theta}{2\pi} \cdot \pi r^2 = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot \pi \cdot 4^2 = \frac{1}{6} \cdot 16\pi = \frac{8\pi}{3} \, \text{cm}^2
$$

#### Área do triângulo equilátero

A área do triângulo equilátero com lado $4 \, \text{cm}$ é:

$$
A_{\text{triângulo}} = \frac{s^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4^2 \sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} \, \text{cm}^2
$$

#### Área do segmento circular

A área do segmento circular é a diferença entre a área do setor e a área do triângulo:

$$
A_{\text{segmento}} = \frac{8\pi}{3} - 4\sqrt{3} \, \text{cm}^2
$$

Como são dois segmentos, a área total da região verde é:

$$
A_{\text{verde}} = 2 \times \left( \frac{8\pi}{3} - 4\sqrt{3} \right) = \frac{16\pi}{3} - 8\sqrt{3} \, \text{cm}^2
$$

Portanto, as respostas são:

a) Apótema: $2\sqrt{3} \, \text{cm}$

b) Área da região verde: $\frac{16\pi}{3} - 8\sqrt{3} \, \text{cm}^2$

28. (Ence-RJ) A figura abaixo representa um hexágono regular...

(Ence-RJ) A figura abaixo representa um hexágono regular.

Calcule: a) a medida do seu apótema; b) a área da região colorida de verde.

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(Ence-RJ) A figura abaixo representa um hexágono regular. Calcule: a) a medida do seu apótema; b) a área da região colorida de verde.

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Calcule: a) a medida do seu apótema; b) a área da região colorida de verde.