29. Se um prisma hexagonal regular de altura 6 cm, como da figura, possui volume igual a 1728/3 cm³, é verdadeiro afirmar que

(A) a área lateral é igual à metade da área de base.
(B) a área lateral é igual à área de base.
(C) a área lateral é igual ao dobro da área de base.
(D) a área lateral é igual ao quádruplo da área de base.
(E) a área lateral é igual ao triplo da área de base.

30. O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide de base quadrada feita de concreto maciço, como mostra a figura.

Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3 m e que a altura da pirâmide será de 4 m, qual o volume de concreto (em m³) necessário para a construção da pirâmide?

Question

29. Se um prisma hexagonal regular de altura 6 cm, como da figura, possui volume igual a 1728/3 cm³, é verdadeiro afirmar que

(A) a área lateral é igual à metade da área de base.
(B) a área lateral é igual à área de base.
(C) a área lateral é igual ao dobro da área de base.
(D) a área lateral é igual ao quádruplo da área de base.
(E) a área lateral é igual ao triplo da área de base.

30. O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide de base quadrada feita de concreto maciço, como mostra a figura.

Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3 m e que a altura da pirâmide será de 4 m, qual o volume de concreto (em m³) necessário para a construção da pirâmide?

Accepted Answer

Para resolver as questões:

**29.** Temos um prisma hexagonal regular com altura de 6 cm e volume de $1728\sqrt{3} \, \text{cm}^3$.

O volume do prisma é dado por:
$$ V = \text{Área da base} \times \text{Altura} $$

Assim, a área da base $A_b$ é:
$$ A_b = \frac{V}{\text{Altura}} = \frac{1728\sqrt{3}}{6} = 288\sqrt{3} \, \text{cm}^2 $$

A área lateral $A_l$ de um prisma hexagonal regular é:
$$ A_l = \text{Perímetro da base} \times \text{Altura} $$

O perímetro da base é $6a$, onde $a$ é o lado do hexágono. A área da base de um hexágono regular é:
$$ A_b = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 $$

Igualando:
$$ \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 = 288\sqrt{3} $$
$$ a^2 = \frac{288\sqrt{3} \times 2}{3\sqrt{3}} = 192 $$
$$ a = \sqrt{192} = 8\sqrt{3} $$

Então, o perímetro da base é:
$$ 6a = 6 \times 8\sqrt{3} = 48\sqrt{3} $$

A área lateral é:
$$ A_l = 48\sqrt{3} \times 6 = 288\sqrt{3} \, \text{cm}^2 $$

Portanto, a área lateral é igual à área da base.

**Resposta: B**

**30.** Para calcular o volume da pirâmide com base quadrada, temos:

Aresta da base $b = 3 \, \text{m}$ e altura $h = 4 \, \text{m}$.

Volume $V$ da pirâmide é dado por:
$$ V = \frac{1}{3} \times \text{Área da base} \times \text{Altura} $$

A área da base é:
$$ b^2 = 3^2 = 9 \, \text{m}^2 $$

O volume é:
$$ V = \frac{1}{3} \times 9 \times 4 = 12 \, \text{m}^3 $$

Portanto, o volume necessário de concreto é $12 \, \text{m}^3$.

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