4 - Determine as raízes, se houver, esboce os gráficos levando em conta o sinal de a e assinalando apenas as raízes das seguintes funções:
a) y = x² + 5x + 4
b) y = 6x² + 6x
c) y = -x² + 6
d) y = -x² - 8
e) y = x² - 10x + 25
f) y = -7x²

Question

Accepted Answer

Para determinar as raízes das funções quadráticas, utilizamos a fórmula de Bhaskara:

$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$

Vamos resolver cada item:

a) $ y = x^2 + 5x + 4 $

- $ a = 1 $, $ b = 5 $, $ c = 4 $
- $ \Delta = b^2 - 4ac = 25 - 16 = 9 $
- Raízes: 
  $$
  x = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-5 \pm 3}{2}
  $$
  $ x_1 = -1 $, $ x_2 = -4 $

b) $ y = 6x^2 + 6x $

- $ a = 6 $, $ b = 6 $, $ c = 0 $
- $ \Delta = b^2 - 4ac = 36 - 0 = 36 $
- Raízes:
  $$
  x = \frac{-6 \pm \sqrt{36}}{12} = \frac{-6 \pm 6}{12}
  $$
  $ x_1 = 0 $, $ x_2 = -1 $

c) $ y = -x^2 - x + 6 $

- $ a = -1 $, $ b = -1 $, $ c = 6 $
- $ \Delta = b^2 - 4ac = 1 + 24 = 25 $
- Raízes:
  $$
  x = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{-2} = \frac{1 \pm 5}{-2}
  $$
  $ x_1 = -3 $, $ x_2 = 2 $

d) $ y = -x^2 + x - 8 $

- $ a = -1 $, $ b = 1 $, $ c = -8 $
- $ \Delta = b^2 - 4ac = 1 + 32 = 33 $
- Raízes:
  $$
  x = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{-2}
  $$
  Raízes reais, mas não inteiras.

e) $ y = x^2 - 10x + 25 $

- $ a = 1 $, $ b = -10 $, $ c = 25 $
- $ \Delta = b^2 - 4ac = 100 - 100 = 0 $
- Raízes:
  $$
  x = \frac{10}{2} = 5
  $$

f) $ y = -7x^2 $

- $ a = -7 $, $ b = 0 $, $ c = 0 $
- Raízes: $ x = 0 $

Os gráficos são parábolas. O sinal de $ a $ indica se a parábola está voltada para cima ($ a > 0 $) ou para baixo ($ a < 0 $). As raízes são os pontos onde o gráfico cruza o eixo $ x $.

4 - Determine as raízes, se houver, esboce os gráficos levan...

4 - Determine as raízes, se houver, esboce os gráficos levando em conta o sinal de a e assinalando apenas as raízes das seguintes funções: a) y = x² + 5x + 4 b) y = 6x² + 6x c) y = -x² + 6 d) y = -x² - 8 e) y = x² - 10x + 25 f) y = -7x²

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