75 Calcule a área do segmento circular colorido no círculo de centro C e raio 5 cm, abaixo.
76 No círculo abaixo, a corda AB mede 6 cm e é lado de um hexágono regular inscrito na circunferência de centro C. Calcule a área do segmento circular colorido.
77 Calcule a área da coroa circular limitada pelas circunferências inscrita e circunscrita a um quadrado de lado 4 cm.
78 A figura abaixo mostra três circunferências concêntricas, sendo 4 cm e 5 cm a medida do raio das duas maiores. Sabendo que as regiões coloridas têm áreas iguais, calcule a medida r do raio da circunferência menor.

Question

Accepted Answer

Vamos resolver cada questão:

**75. Calcular a área do segmento circular colorido:**

O segmento circular é parte de um círculo delimitado por uma corda e o arco correspondente. Para calcular a área do segmento, precisamos subtrair a área do triângulo isósceles (formado pelos dois raios e a corda) da área do setor circular.

1. **Área do setor circular:**
   - Ângulo central = 60° (pois os lados do triângulo são iguais e formam um ângulo de 60°)
   - Área do setor = $\frac{60}{360} \times \pi \times 5^2 = \frac{\pi \times 25}{6}$

2. **Área do triângulo isósceles:**
   - Base = 5 cm, altura = $\sqrt{5^2 - \left(\frac{5}{2}\right)^2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$
   - Área do triângulo = $\frac{1}{2} \times 5 \times \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{4}$

3. **Área do segmento circular:**
   - Área do segmento = Área do setor - Área do triângulo
   - $\frac{\pi \times 25}{6} - \frac{25\sqrt{3}}{4}$

**76. Calcular a área do segmento circular colorido:**

A corda AB é lado de um hexágono regular inscrito, então o ângulo central é 60°.

1. **Área do setor circular:**
   - Ângulo central = 60°
   - Área do setor = $\frac{60}{360} \times \pi \times r^2 = \frac{\pi \times r^2}{6}$

2. **Área do triângulo equilátero:**
   - Lado = 6 cm
   - Área do triângulo = $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = 9\sqrt{3}$

3. **Área do segmento circular:**
   - Área do segmento = Área do setor - Área do triângulo
   - $\frac{\pi \times r^2}{6} - 9\sqrt{3}$

**77. Calcular a área da coroa circular:**

1. **Círculo circunscrito:**
   - Diâmetro = 4 cm, então raio = 2 cm
   - Área = $\pi \times 2^2 = 4\pi$

2. **Círculo inscrito:**
   - Raio = $\frac{4}{2} = 2$ cm
   - Área = $\pi \times 2^2 = 4\pi$

3. **Área da coroa circular:**
   - Área da coroa = Área do círculo maior - Área do círculo menor
   - $4\pi - 4\pi = 0$

**78. Calcular o raio $r$ da circunferência menor:**

Sabendo que as áreas coloridas são iguais:

1. **Área entre círculos de raio 5 cm e 4 cm:**
   - Área = $\pi \times 5^2 - \pi \times 4^2 = 9\pi$

2. **Área entre círculos de raio 4 cm e $r$:**
   - Área = $\pi \times 4^2 - \pi \times r^2 = 9\pi$

3. **Igualando as áreas:**
   - $16\pi - \pi r^2 = 9\pi$
   - $7\pi = \pi r^2$
   - $r^2 = 7$
   - $r = \sqrt{7}$

75 Calcule a área do segmento circular colorido no círculo d...

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