8. Determine os valores reais de x para que exista: a) log(1 - x) |x ∈ ℝ| x 3 c) log(x² + 4x - 5) |x ∈ ℝ| x 1 d) log(50 - 5x - x²) |x ∈ ℝ| -10

Q: 8. Determine os valores reais de x para que exista: a) log(1 - x) |x ∈ ℝ| x 3 c) log(x² + 4x - 5) |x ∈ ℝ| x 1 d) log(50 - 5x - x²) |x ∈ ℝ| -10 < x < 5

Para que os logaritmos existam, as expressões dentro dos logaritmos devem ser positivas. Vamos analisar cada caso: a) $ \log(1 - x) $ Para existir, $ 1 - x > 0 $. \[ 1 - x > 0 \implies x 0 \implies x > \frac{2}{5} \) 2. $ x - 3 > 0 \implies x > 3 $ A interseção dessas condições é $ x > 3 $. c) $ \log_3(x^2 + 4x - 5) $ Para existir, $ x^2 + 4x - 5 > 0 $. Fatorando a expressão: \[ x^2 + 4x - 5 = (x - 1)(x + 5) \] Para o produto ser positivo, temos duas possibilidades: 1. $ x - 1 > 0 $ e $ x + 5 > 0 $ $\Rightarrow x > 1$ 2. $ x - 1 1 $. d) $ | \log(50 - 5x - x) | $ Para existir, $ 50 - 5x - x > 0 $. \[ 50 - 6x > 0 \implies x 3 \) c) $ x 1 $ d) $ x < \frac{50}{6} \approx 8.33 $

Question

8. Determine os valores reais de x para que exista: a) log(1 - x) |x ∈ ℝ| x < 1 b) log(5x - 2) + log(x - 3) |x ∈ ℝ| x > 3 c) log(x² + 4x - 5) |x ∈ ℝ| x < -5 ou x > 1 d) log(50 - 5x - x²) |x ∈ ℝ| -10 < x < 5

Accepted Answer

Para que os logaritmos existam, as expressões dentro dos logaritmos devem ser positivas. Vamos analisar cada caso: a) $ \log(1 - x) $ Para existir, $ 1 - x > 0 $. $$ 1 - x > 0 \implies x < 1 $$ b) $ \log_3(5x - 2) + \log_3(x - 3) $ Ambas as expressões precisam ser positivas: 1. $ 5x - 2 > 0 \implies x > \frac{2}{5} $ 2. $ x - 3 > 0 \implies x > 3 $ A interseção dessas condições é $ x > 3 $. c) $ \log_3(x^2 + 4x - 5) $ Para existir, $ x^2 + 4x - 5 > 0 $. Fatorando a expressão: $$ x^2 + 4x - 5 = (x - 1)(x + 5) $$ Para o produto ser positivo, temos duas possibilidades: 1. $ x - 1 > 0 $ e $ x + 5 > 0 $ $\Rightarrow x > 1$ 2. $ x - 1 < 0 $ e $ x + 5 < 0 $ $\Rightarrow x < -5$ Portanto, $ x < -5 $ ou $ x > 1 $. d) $ | \log(50 - 5x - x) | $ Para existir, $ 50 - 5x - x > 0 $. $$ 50 - 6x > 0 \implies x < \frac{50}{6} \approx 8.33 $$ Como é valor absoluto, não há restrição adicional além de $ x < \frac{50}{6} $. Resumindo: a) $ x < 1 $ b) $ x > 3 $ c) $ x < -5 $ ou $ x > 1 $ d) $ x < \frac{50}{6} \approx 8.33 $

8. Determine os valores reais de x para que exista: a) log(...

Determine os valores reais de x para que exista:

a) log(1 - x) |x ∈ ℝ| x < 1

b) log(5x - 2) + log(x - 3) |x ∈ ℝ| x > 3

c) log(x² + 4x - 5) |x ∈ ℝ| x < -5 ou x > 1

d) log(50 - 5x - x²) |x ∈ ℝ| -10 < x < 5

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