A) Log√2 ⁴=
B) Log ³√4 ²=
C) Log^16 4⁵=
D) log ^2 2x-3= 16

Question

A) Log√2 ⁴=
B) Log ³√4 ²=
C) Log^16 4⁵=
D) log ^2 2x-3= 16

Accepted Answer

Para resolver essas expressões logarítmicas, vamos simplificar cada uma delas:

A) $\log_{\sqrt{2}} 4$

Podemos reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{1/2}$ e 4 como $2^2$. Assim, a expressão fica:

$$
\log_{2^{1/2}} 2^2
$$

Usando a propriedade dos logaritmos $\log_{a^b} c = \frac{1}{b} \log_a c$, temos:

$$
\frac{1}{1/2} \log_2 2^2 = 2 \cdot 2 = 4
$$

B) $\log_{\sqrt[3]{4}} 2$

Podemos reescrever $\sqrt[3]{4}$ como $4^{1/3}$. Assim, a expressão fica:

$$
\log_{4^{1/3}} 2
$$

Usando a propriedade dos logaritmos $\log_{a^b} c = \frac{1}{b} \log_a c$, temos:

$$
3 \cdot \log_4 2
$$

Sabendo que $4 = 2^2$, podemos usar a mudança de base:

$$
\log_4 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 4} = \frac{1}{2}
$$

Portanto:

$$
3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}
$$

C) $\log_{16} 4^5$

Podemos reescrever 16 como $2^4$ e 4 como $2^2$. Assim, a expressão fica:

$$
\log_{2^4} (2^2)^5 = \log_{2^4} 2^{10}
$$

Usando a propriedade dos logaritmos $\log_{a^b} c^d = \frac{d}{b} \log_a c$, temos:

$$
\frac{10}{4} \log_2 2 = \frac{10}{4} \cdot 1 = \frac{5}{2}
$$

D) $\log_2 (2x - 3) = 16$

Para resolver essa equação, vamos converter do formato logarítmico para o exponencial:

$$
2x - 3 = 2^{16}
$$

Calculando $2^{16}$:

$$
2^{16} = 65536
$$

Agora, resolvemos para $x$:

$$
2x - 3 = 65536 \
2x = 65536 + 3 \
2x = 65539 \
x = \frac{65539}{2} = 32769.5
$$

Portanto, as respostas são:

A) 4  
B) $\frac{3}{2}$  
C) $\frac{5}{2}$  
D) $x = 32769.5$

A) Log√2 ⁴= B) Log ³√4 ²= C) Log^16 4⁵= D) log ^2 2x-3= 1...