Certa substância se desintegra obedecendo à seguinte expressão: Q(t)=k-2^-0,5t , em que t é o tempo (em horas), k é uma constante real e Q (t) é a quantidade da substância (em gramas), no tempo r. Considerando que no instante inicial, t = 0, a quantidade de substância é de 800 g, assinale a alternativa que corresponde ao tempo necessário para que a quantidade dessa substancia esteja reduzida a 25% do seu valor inicial.

Question

Certa substância se desintegra obedecendo à seguinte expressão: Q(t)=k-2^-0,5t , em que t é o tempo (em horas), k é uma constante real e Q (t) é a quantidade da substância (em gramas), no tempo r. Considerando que no instante inicial, t = 0, a quantidade de substância é de 800 g, assinale a alternativa que corresponde ao tempo necessário para que a quantidade dessa substancia esteja reduzida a 25% do seu valor inicial.

Accepted Answer

Para resolver este problema, vamos seguir os seguintes passos:

1.  **Encontrar o valor da constante k:**

*   Sabemos que no instante inicial $ t = 0 $, a quantidade da substância é $ Q(0) = 800 $ gramas. Substituímos esses valores na expressão:

$$
        Q(0) = k \cdot 2^{-0.5 \cdot 0}
        $$

$$
        800 = k \cdot 2^0
        $$

$$
        800 = k \cdot 1
        $$

$$
        k = 800
        $$

*   Portanto, a expressão completa é:

$$
        Q(t) = 800 \cdot 2^{-0.5t}
        $$

2.  **Determinar o tempo necessário para que a quantidade da substância seja reduzida a 25% do valor inicial:**

*   O valor inicial é 800 g, então 25% desse valor é:

$$
        0.25 \cdot 800 = 200
        $$

*   Queremos encontrar o tempo $ t $ quando $ Q(t) = 200 $. Substituímos $ Q(t) $ por 200 na expressão:

$$
        200 = 800 \cdot 2^{-0.5t}
        $$

*   Dividimos ambos os lados por 800:

$$
        \frac{200}{800} = 2^{-0.5t}
        $$

$$
        \frac{1}{4} = 2^{-0.5t}
        $$

*   Como $ \frac{1}{4} = 2^{-2} $, podemos reescrever a equação como:

$$
        2^{-2} = 2^{-0.5t}
        $$

*   Igualamos os expoentes:

$$
        -2 = -0.5t
        $$

*   Dividimos ambos os lados por -0.5:

$$
        t = \frac{-2}{-0.5}
        $$

$$
        t = 4
        $$

Portanto, o tempo necessário para que a quantidade da substância seja reduzida a 25% do seu valor inicial é de 4 horas.

Certa substância se desintegra obedecendo à seguinte express...

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