dada a PG (2, 4, 8, 16, ...), calcule o valor de N para que a soma dos N primeiros termos seja 4094

Question

Accepted Answer

Para resolver esse problema, precisamos usar a fórmula da soma dos $N$ primeiros termos de uma progressão geométrica (PG). A fórmula é:

$$ S_N = a_1 \frac{q^N - 1}{q - 1} $$

onde:
- $S_N$ é a soma dos $N$ primeiros termos,
- $a_1$ é o primeiro termo da PG,
- $q$ é a razão da PG,
- $N$ é o número de termos.

Dada a PG (2, 4, 8, 16, ...), temos:
- $a_1 = 2$
- $q = 4 / 2 = 2$

Queremos encontrar $N$ tal que $S_N = 4094$. Substituindo os valores conhecidos na fórmula da soma:

$$ 4094 = 2 \frac{2^N - 1}{2 - 1} $$

Simplificando a equação:

$$ 4094 = 2 (2^N - 1) $$

Dividindo ambos os lados por 2:

$$ 2047 = 2^N - 1 $$

Adicionando 1 a ambos os lados:

$$ 2048 = 2^N $$

Agora, precisamos encontrar $N$ tal que $2^N = 2048$. Sabemos que:

$$ 2^{11} = 2048 $$

Portanto, $N = 11$.

**Resposta: 11**

dada a PG (2, 4, 8, 16, ...), calcule o valor de N para que ...