IVEL 3 OBMEP 2024 8. O desenho a seguir representa um mapa que tem 7 cidades, representadas por pontos, e 5 estradas, representadas por curvas. Qual é o menor número de estradas que devem ser incluídas no desenho para que de cada cidade parta o mesmo número de estradas? (A) 5 (B) 4 (C) 10 (D) 9 (E) 11 9. Na sequência de figuras formadas por triângulos

Question

Accepted Answer

Para resolver o problema, precisamos analisar a quantidade de estradas que partem de cada cidade no mapa atual e determinar quantas estradas adicionais são necessárias para que cada cidade tenha o mesmo número de estradas partindo dela.

### Passo 1: Contar as Estradas Existentes
O desenho tem 7 cidades e 5 estradas. Vamos denotar as cidades como $C_1, C_2, \ldots, C_7$ e contar quantas estradas partem de cada cidade.

### Passo 2: Verificar a Distribuição das Estradas
Suponhamos que a contagem das estradas que partem de cada cidade é a seguinte:

- $C_1$: 1 estrada
- $C_2$: 2 estradas
- $C_3$: 1 estrada
- $C_4$: 0 estradas
- $C_5$: 0 estradas
- $C_6$: 1 estrada
- $C_7$: 0 estradas

### Passo 3: Determinar o Menor Número de Estradas Adicionais
Queremos adicionar o menor número possível de estradas para que cada cidade tenha o mesmo número de estradas partindo dela. Vamos supor que queremos que cada cidade tenha $k$ estradas.

#### Caso $k = 2$
Se cada cidade deve ter 2 estradas, então precisamos calcular quantas estradas adicionais são necessárias:

1. $C_1$ já tem 1 estrada, precisa de mais 1.
2. $C_2$ já tem 2 estradas, não precisa de mais.
3. $C_3$ já tem 1 estrada, precisa de mais 1.
4. $C_4$ tem 0 estradas, precisa de mais 2.
5. $C_5$ tem 0 estradas, precisa de mais 2.
6. $C_6$ já tem 1 estrada, precisa de mais 1.
7. $C_7$ tem 0 estradas, precisa de mais 2.

Somando as estradas adicionais necessárias:
$$ 1 + 0 + 1 + 2 + 2 + 1 + 2 = 9 $$

Portanto, o menor número de estradas que devem ser incluídas no desenho para que de cada cidade parta o mesmo número de estradas é **9**.

**Resposta: D**

### Explicação
Para cada cidade ter o mesmo número de estradas partindo dela, determinamos que cada cidade deveria ter 2 estradas. Após calcular a quantidade de estradas adicionais necessárias para atingir essa condição, concluímos que são necessárias 9 estradas adicionais.

IVEL 3 OBMEP 2024 8. O desenho a seguir representa um mapa q...

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