José multiplica o número 1 por 6 ou por 10. Em seguida, ele multiplica o resultado por 6 ou por 10,
prosseguindo assim muitas vezes. Qual dos números a seguir José NÃO pode obter com esses cálculos?
2^{110}\cdot3^{80}\cdot5^{30}

Question

Accepted Answer

Para entender quais números José pode obter com esses cálculos, precisamos observar os fatores primos envolvidos nas operações descritas. Quando José multiplica por 6 ou 10, ele está efetivamente multiplicando o número atual por $2 \times 3$ (no caso de multiplicar por 6) ou por $2 \times 5$ (no caso de multiplicar por 10).

Isso significa que qualquer número que José obtenha será da forma $2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$, onde $a$, $b$, e $c$ são inteiros não negativos que representam quantas vezes o número foi multiplicado por 2, 3, e 5, respectivamente.

Agora, vamos analisar o número proposto: $2^{110} \cdot 3^{80} \cdot 5^{30}$.

Para verificar se José pode ou não obter esse número, precisamos considerar as regras de multiplicação que ele segue:

1. Ele pode multiplicar por 6, o que aumenta o expoente de 2 em 1 e o expoente de 3 em 1.
2. Ele pode multiplicar por 10, o que aumenta o expoente de 2 em 1 e o expoente de 5 em 1.

O número proposto tem os expoentes $2^{110}$, $3^{80}$, e $5^{30}$. Para que José obtenha esse número, os aumentos nos expoentes de 2, 3, e 5 devem ser compatíveis com as operações de multiplicação que ele pode realizar.

Vamos comparar os expoentes:

- Para $2$, temos $110$.
- Para $3$, temos $80$.
- Para $5$, temos $30$.

Se José começar com o número 1 (ou seja, $2^0 \cdot 3^0 \cdot 5^0$), cada multiplicação por 6 adiciona 1 ao expoente de 2 e 3, enquanto cada multiplicação por 10 adiciona 1 ao expoente de 2 e 5.

Para chegar a $2^{110}$, José precisa multiplicar por 2 (um total de 110 vezes), o que implica que ele também teria multiplicado o suficiente para adicionar pelo menos 110 aos expoentes de 3 e 5 combinados, já que toda vez que ele multiplica por 2 (através de 6 ou 10), ele também está multiplicando por 3 ou 5.

No entanto, o total de vezes que 3 e 5 aparecem como fatores é $80 + 30 = 110$, o que corresponde exatamente ao número necessário de multiplicações por 2. Isso significa que, teoricamente, é possível alcançar o equilíbrio dos expoentes conforme descrito, assumindo que todas as multiplicações foram feitas de maneira a atingir exatamente esses valores.

Portanto, com base nessa análise, parece que o número $2^{110} \cdot 3^{80} \cdot 5^{30}$ poderia ser obtido seguindo as regras de multiplicação dadas. No entanto, a questão pede qual número José NÃO pode obter, e a análise mostra que, em teoria, este número poderia ser obtido. Se houve um mal-entendido na interpretação da pergunta ou se a análise deveria focar em outro aspecto para determinar a impossibilidade, isso precisaria ser esclarecido. A análise assume que a questão gira em torno da possibilidade de obter o número dado com as regras fornecidas.

José multiplica o número 1 por 6 ou por 10. Em seguida, ele ...

José multiplica o número 1 por 6 ou por 10. Em seguida, ele multiplica o resultado por 6 ou por 10, prosseguindo assim muitas vezes. Qual dos números a seguir José NÃO pode obter com esses cálculos? 2^{110}\cdot3^{80}\cdot5^{30}

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