Leia a tirinha abaixo.
disponível em: https://tirasarmandinho.tumblr.com acesso em: 22 jun. 2023. Admita que o tetraedro apresentado na tirinha é um brinquedo que tem um pequeno furo em sua base, o que permite que seu espaço interior seja preenchido com água. Outro brinquedo, que tem o formato de copo cilindrico, receberá a água despejada de dentro do tetraedro complemente cheio do liquido. A aresta da base do tetraedro mede 11 cm , ao passo que o copo tem uma altura de 12 cm e uma base cujo diâmetro mede 9 cm .

Adote $ \pi=3 $.
o volume de água ocupará toda a capacidade do copo se a altura, em cm, do tetraedro for igual a, aproximadamente,

A
6,0 .

B
8,0 .

C
18,1 .

D
24,1 .

E
36,1 .

Question

Leia a tirinha abaixo.
disponível em: https://tirasarmandinho.tumblr.com acesso em: 22 jun. 2023. Admita que o tetraedro apresentado na tirinha é um brinquedo que tem um pequeno furo em sua base, o que permite que seu espaço interior seja preenchido com água. Outro brinquedo, que tem o formato de copo cilindrico, receberá a água despejada de dentro do tetraedro complemente cheio do liquido. A aresta da base do tetraedro mede 11 cm , ao passo que o copo tem uma altura de 12 cm e uma base cujo diâmetro mede 9 cm .

Adote $ \pi=3 $.
o volume de água ocupará toda a capacidade do copo se a altura, em cm, do tetraedro for igual a, aproximadamente,

A
6,0 .

B
8,0 .

C
18,1 .

D
24,1 .

E
36,1 .

Accepted Answer

Para resolver essa questão, precisamos calcular o volume do tetraedro e o volume do cilindro, e então igualar os dois para encontrar a altura do tetraedro.

Primeiro, vamos calcular o volume do cilindro. A fórmula para o volume do cilindro é:

$$ V_{\text{cilindro}} = \pi r^2 h $$

Onde:
- $ \pi = 3 $
- $ r $ é o raio da base do cilindro, que é metade do diâmetro: $ r = \frac{9}{2} = 4,5 $ cm
- $ h $ é a altura do cilindro: $ h = 12 $ cm

Substituindo esses valores na fórmula:

$$ V_{\text{cilindro}} = 3 \times (4,5)^2 \times 12 $$
$$ V_{\text{cilindro}} = 3 \times 20,25 \times 12 $$
$$ V_{\text{cilindro}} = 3 \times 243 $$
$$ V_{\text{cilindro}} = 729 \, \text{cm}^3 $$

Agora, vamos calcular o volume do tetraedro. A fórmula para o volume de um tetraedro regular é:

$$ V_{\text{tetraedro}} = \frac{a^2 \cdot h_{\text{tetraedro}}}{6 \sqrt{2}} $$

Onde:
- $ a = 11 $ cm é a aresta da base do tetraedro
- $ h_{\text{tetraedro}} $ é a altura do tetraedro que queremos encontrar

Queremos que o volume do tetraedro seja igual ao volume do cilindro:

$$ \frac{11^2 \cdot h_{\text{tetraedro}}}{6 \sqrt{2}} = 729 $$

Resolvendo para $ h_{\text{tetraedro}} $:

$$ \frac{121 \cdot h_{\text{tetraedro}}}{6 \sqrt{2}} = 729 $$

Multiplicando ambos os lados por $ 6 \sqrt{2} $:

$$ 121 \cdot h_{\text{tetraedro}} = 729 \cdot 6 \sqrt{2} $$
$$ 121 \cdot h_{\text{tetraedro}} = 4374 \sqrt{2} $$

Dividindo ambos os lados por 121:

$$ h_{\text{tetraedro}} = \frac{4374 \sqrt{2}}{121} $$

Aproximando $ \sqrt{2} \approx 1,414 $:

$$ h_{\text{tetraedro}} \approx \frac{4374 \times 1,414}{121} $$
$$ h_{\text{tetraedro}} \approx \frac{6185,436}{121} $$
$$ h_{\text{tetraedro}} \approx 51,13 \, \text{cm} $$

No entanto, parece haver um erro nos cálculos. Vamos reconsiderar a forma de calcular o volume do tetraedro. A fórmula correta para o volume de um tetraedro regular é:

$$ V_{\text{tetraedro}} = \frac{a^3}{6 \sqrt{2}} $$

Usando esta fórmula:

$$ V_{\text{tetraedro}} = \frac{11^3}{6 \sqrt{2}} $$
$$ V_{\text{tetraedro}} = \frac{1331}{6 \sqrt{2}} $$
$$ V_{\text{tetraedro}} = \frac{1331}{6 \times 1,414} $$
$$ V_{\text{tetraedro}} = \frac{1331}{8,484} $$
$$ V_{\text{tetraedro}} \approx 156,87 \, \text{cm}^3 $$

Portanto, parece que houve um erro inicial na interpretação da altura do tetraedro. Vamos reconsiderar a altura do tetraedro sendo igual ao volume do cilindro.

Igualando o volume do tetraedro ao volume do cilindro:

$$ \frac{a^2 \cdot h_{\text{tetraedro}}}{6 \sqrt{2}} = 729 $$

Resolvendo novamente para $ h_{\text{tetraedro}} $:

$$ \frac{121 \cdot h_{\text{tetraedro}}}{6 \sqrt{2}} = 729 $$

Multiplicando ambos os lados por $ 6 \sqrt{2} $:

$$ 121 \cdot h_{\text{tetraedro}} = 729 \cdot 6 \sqrt{2} $$
$$ 121 \cdot h_{\text{tetraedro}} = 4374 \sqrt{2} $$

Dividindo ambos os lados por 121:

$$ h_{\text{tetraedro}} = \frac{4374 \sqrt{2}}{121} $$

Aproximando $ \sqrt{2} \approx 1,414 $:

$$ h_{\text{tetraedro}} \approx \frac{4374 \times 1,414}{121} $$
$$ h_{\text{tetraedro}} \approx \frac{6185,436}{121} $$
$$ h_{\text{tetraedro}} \approx 51,13 \, \text{cm} $$

Portanto, a altura do tetraedro deve ser aproximadamente 51,13 cm para ocupar todo o volume do cilindro. No entanto, nenhum dos valores fornecidos nas alternativas corresponde a este valor. Parece que houve um erro na formulação das alternativas ou nos cálculos intermediários.

**Resposta: Nenhuma das alternativas fornecidas corresponde à altura correta do tetraedro.**

Leia a tirinha abaixo. disponível em: https://tirasarmandin...

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