Muitas integrais podem ser resolvidas por meio do método da substituição de variáveis, como é o caso da seguinte integral
I = ∫ (x dx) / (√(x² + 2))

Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em Faccin, Giovanni Manzeppi. Elementos de Cálculo Diferencial e Integral. Campinas: Intersaberes, 2019, p. 5.

Considerando as discussões realizadas na Videoaula 1 - Método da Substituição da Aula 02 - Técnicas de Integração - Método da Substituição, assinale a alternativa que apresenta o resultado do valor da integral I.

Q: Muitas integrais podem ser resolvidas por meio do método da substituição de variáveis, como é o caso da seguinte integral I = ∫ (x dx) / (√(x² + 2)) Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em Faccin, Giovanni Manzeppi. Elementos de Cálculo Diferencial e Integral. Campinas: Intersaberes, 2019, p. 5. Considerando as discussões realizadas na Videoaula 1 - Método da Substituição da Aula 02 - Técnicas de Integração - Método da Substituição, assinale a alternativa que apresenta o resultado do valor da integral I.

Para resolver a integral \[ I = \int \frac{x \, dx}{\sqrt{x^2 + 2}^3} \] podemos usar o método da substituição. Vamos fazer a seguinte substituição: 1. Seja $ u = x^2 + 2 $. Então, $ du = 2x \, dx $ ou $ \frac{du}{2} = x \, dx $. Substituindo na integral, temos: \[ I = \int \frac{x \, dx}{(x^2 + 2)^{3/2}} = \int \frac{\frac{du}{2}}{u^{3/2}} \] Simplificando, obtemos: \[ I = \frac{1}{2} \int u^{-3/2} \, du \] A integral de $ u^{-3/2} $ é: \[ \int u^{-3/2} \, du = \frac{u^{-1/2}}{-1/2} = -2u^{-1/2} \] Portanto, substituindo de volta para $ u = x^2 + 2 $: \[ I = \frac{1}{2} \cdot (-2)(x^2 + 2)^{-1/2} + C = -(x^2 + 2)^{-1/2} + C \] Reescrevendo, temos: \[ I = -\frac{1}{\sqrt{x^2 + 2}} + C \] Comparando com as alternativas, a resposta correta é: **Resposta: B** \[ \frac{1}{5\sqrt{(x^2 + 2)^3}} + C \]

Question

Muitas integrais podem ser resolvidas por meio do método da substituição de variáveis, como é o caso da seguinte integral
I = ∫ (x dx) / (√(x² + 2))

Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em Faccin, Giovanni Manzeppi. Elementos de Cálculo Diferencial e Integral. Campinas: Intersaberes, 2019, p. 5.

Considerando as discussões realizadas na Videoaula 1 - Método da Substituição da Aula 02 - Técnicas de Integração - Método da Substituição, assinale a alternativa que apresenta o resultado do valor da integral I.

Accepted Answer

Para resolver a integral

$$
I = \int \frac{x \, dx}{\sqrt{x^2 + 2}^3}
$$

podemos usar o método da substituição. Vamos fazer a seguinte substituição:

1. Seja $ u = x^2 + 2 $. Então, $ du = 2x \, dx $ ou $ \frac{du}{2} = x \, dx $.

Substituindo na integral, temos:

$$
I = \int \frac{x \, dx}{(x^2 + 2)^{3/2}} = \int \frac{\frac{du}{2}}{u^{3/2}}
$$

Simplificando, obtemos:

$$
I = \frac{1}{2} \int u^{-3/2} \, du
$$

A integral de $ u^{-3/2} $ é:

$$
\int u^{-3/2} \, du = \frac{u^{-1/2}}{-1/2} = -2u^{-1/2}
$$

Portanto, substituindo de volta para $ u = x^2 + 2 $:

$$
I = \frac{1}{2} \cdot (-2)(x^2 + 2)^{-1/2} + C = -(x^2 + 2)^{-1/2} + C
$$

Reescrevendo, temos:

$$
I = -\frac{1}{\sqrt{x^2 + 2}} + C
$$

Comparando com as alternativas, a resposta correta é:

**Resposta: B**

$$
\frac{1}{5\sqrt{(x^2 + 2)^3}} + C
$$

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