O desenho a seguir representa um mapa que tem 7 cidades, representadas por curvas. Qual é o menor número de estradas que devem ser incluídos no desenho para que de cada cidade parta o mesmo número de estradas?

Question

Accepted Answer

Para resolver esse problema, precisamos garantir que cada cidade tenha o mesmo número de estradas saindo dela. Vamos analisar as etapas necessárias para encontrar a solução:

1. **Entendimento do Problema:**
   - Temos 7 cidades.
   - Precisamos adicionar estradas de modo que cada cidade tenha o mesmo número de estradas saindo dela.

2. **Propriedades dos Grafos:**
   - Cada cidade pode ser representada como um vértice no grafo.
   - As estradas são as arestas que conectam esses vértices.
   - Queremos que cada vértice tenha o mesmo grau (número de arestas incidentes).

3. **Condições para Grafo Regular:**
   - Um grafo é regular se todos os vértices têm o mesmo grau $k$.
   - Para 7 cidades, o grau $k$ deve ser tal que o número total de arestas seja inteiro.
   - O número total de arestas em um grafo com $n$ vértices e grau $k$ é dado por:
     $$
     \frac{n \cdot k}{2}
     $$
   - Para $n = 7$, queremos que $\frac{7 \cdot k}{2}$ seja um número inteiro. Isso implica que $7 \cdot k$ deve ser par, logo $k$ deve ser par.

4. **Escolha do Menor Grau Par:**
   - O menor grau par possível é $k = 2$.

5. **Cálculo do Número de Estradas:**
   - Se cada cidade tiver 2 estradas, teremos um total de:
     $$
     \frac{7 \cdot 2}{2} = 7
     $$
   - Portanto, precisaríamos adicionar 7 estradas para que cada cidade tenha 2 estradas partindo dela.

**Conclusão:**
O menor número de estradas que devem ser incluídos para que cada cidade parta o mesmo número de estradas é 7.

O desenho a seguir representa um mapa que tem 7 cidades, rep...

O desenho a seguir representa um mapa que tem 7 cidades, representadas por curvas. Qual é o menor número de estradas que devem ser incluídos no desenho para que de cada cidade parta o mesmo número de estradas?

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