quantos são os numeros naturais de 7 dígitos nos quais o dígito 4 figura exatamente 3 vezes, e o dígito 8, exatamente 2 vezes?

Question

Accepted Answer

Para resolver esse problema, precisamos contar a quantidade de números naturais de 7 dígitos que possuem exatamente três dígitos iguais a 4 e dois dígitos iguais a 8. Os outros dois dígitos restantes podem ser quaisquer outros dígitos diferentes de 4 e 8.

Vamos seguir os passos abaixo:

1. **Escolher as posições para os dígitos 4:**
   - Há $7$ posições disponíveis e precisamos escolher $3$ dessas posições para colocar o dígito 4.
   - O número de maneiras de fazer isso é dado pela combinação:
     $$
     \binom{7}{3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = 35
     $$

2. **Escolher as posições para os dígitos 8:**
   - Das $4$ posições restantes (depois de colocar os dígitos 4), precisamos escolher $2$ dessas posições para colocar o dígito 8.
   - O número de maneiras de fazer isso é dado pela combinação:
     $$
     \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = 6
     $$

3. **Escolher os dígitos restantes:**
   - As $2$ posições restantes podem ser preenchidas por qualquer um dos $8$ dígitos diferentes de 4 e 8 (0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9).
   - O número de maneiras de escolher esses dois dígitos é:
     $$
     8 \times 8 = 64
     $$

4. **Contar todas as combinações possíveis:**
   - Multiplicamos o número de maneiras de escolher as posições dos dígitos 4, as posições dos dígitos 8, e as escolhas dos dígitos restantes:
     $$
     35 \times 6 \times 64 = 13440
     $$

Portanto, o número total de números naturais de 7 dígitos nos quais o dígito 4 figura exatamente 3 vezes, e o dígito 8, exatamente 2 vezes, é **13.440**.

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quantos são os numeros naturais de 7 dígitos nos quais o dígito 4 figura exatamente 3 vezes, e o dígito 8, exatamente 2 vezes?

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