Questão 11. Flávia representou o triângulo ABC no plano cartesiano, sendo (1,1), (3,1) e (3,3)as coordenadas dos vértices A, B e C respectivamente. Depois, ela representou os pontos A' (6,0), B'(12,0), e C'(12,6) no mesmo plano cartesiano.

A) em uma malha quadriculada, represente um plano cartesiano, o triângulo ABC e os pontos A', B' e C'.

B) o que se pode dizer do triângulo A'B'C' em relação ao triângulo ABC construído por Flávia?

C) Determine as coordenadas dos 3 vértices de um triângulo que seja uma redução do triângulo ABC e cujos lados tenham a metade da medida de comprimento. Represente no plano cartesiano o triângulo cujas coordenadas você determinou.

Question

Questão 11. Flávia representou o triângulo ABC no plano cartesiano, sendo (1,1), (3,1) e (3,3)as coordenadas dos vértices A, B e C respectivamente. Depois, ela representou os pontos A' (6,0), B'(12,0), e C'(12,6) no mesmo plano cartesiano.

A) em uma malha quadriculada, represente um plano cartesiano, o triângulo ABC e os pontos A', B' e C'.

B) o que se pode dizer do triângulo A'B'C' em relação ao triângulo ABC construído por Flávia?

C) Determine as coordenadas dos 3 vértices de um triângulo que seja uma redução do triângulo ABC e cujos lados tenham a metade da medida de comprimento. Represente no plano cartesiano o triângulo cujas coordenadas você determinou.

Accepted Answer

Vamos resolver cada parte da questão passo a passo.

### Parte A: Representação no Plano Cartesiano

Para representar os triângulos ABC e A'B'C' em um plano cartesiano, observe que:

- O triângulo ABC tem vértices em $A(1,1)$, $B(3,1)$, e $C(3,3)$.
- O triângulo A'B'C' tem vértices em $A'(6,0)$, $B'(12,0)$, e $C'(12,6)$.

Dado que não posso desenhar diretamente aqui, vou descrever como seria a representação:

1. Desenhe um plano cartesiano com eixos x e y.
2. Marque os pontos $A(1,1)$, $B(3,1)$, e $C(3,3)$. Conecte esses pontos para formar o triângulo ABC.
3. Marque os pontos $A'(6,0)$, $B'(12,0)$, e $C'(12,6)$. Conecte esses pontos para formar o triângulo A'B'C'.

Você notará que o triângulo ABC é um triângulo retângulo com um cateto ao longo do eixo x e outro ao longo do eixo y, enquanto o triângulo A'B'C' também é um triângulo retângulo, mas com dimensões maiores.

### Parte B: Relação entre os Triângulos ABC e A'B'C'

Para analisar a relação entre os dois triângulos, vamos observar suas características:

- **Tamanho**: O triângulo A'B'C' é maior que o triângulo ABC. Isso pode ser verificado pelas distâncias entre seus vértices. Por exemplo, a base AB tem comprimento 2 (de $x=1$ a $x=3$), enquanto a base A'B' tem comprimento 6 (de $x=6$ a $x=12$), que é três vezes maior.
- **Forma**: Ambos são triângulos retângulos. Isso é evidente pelos ângulos nos vértices B e B', que são ângulos retos.
- **Proporcionalidade**: Os lados dos triângulos são proporcionais. A razão de ampliação de ABC para A'B'C' é de 1:3, considerando as medidas dos lados correspondentes.

Portanto, podemos dizer que o triângulo A'B'C' é uma ampliação do triângulo ABC por um fator de 3.

### Parte C: Redução do Triângulo ABC

Para criar um triângulo que seja uma redução de ABC, com lados tendo metade da medida de comprimento, precisamos dividir as distâncias dos lados de ABC por 2.

- O lado AB tem comprimento 2. A metade disso é 1.
- O lado BC tem comprimento 2. A metade disso é 1.
- O lado AC tem comprimento $\sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8}$. A metade disso é $\frac{\sqrt{8}}{2} = \sqrt{2}$, mas como estamos lidando com as projeções nos eixos x e y, focaremos apenas nas medidas de $AB$ e $BC$.

Para reduzir pela metade as distâncias mantendo o ponto $A$ como referência, podemos definir os novos pontos assim:

- Mantenha $A$ onde está: $A(1,1)$.
- O novo ponto $B'$ estará a uma unidade à direita de $A$, então: $B'(2,1)$.
- O novo ponto $C'$ estará a uma unidade acima de $B'$, então: $C'(2,2)$.

Assim, os vértices do triângulo reduzido são $A(1,1)$, $B'(2,1)$, e $C'(2,2)$.

Para representá-lo no plano cartesiano:
1. Use o mesmo plano cartesiano da parte A.
2. Marque os pontos $A(1,1)$, $B'(2,1)$, e $C'(2,2)$.
3. Conecte esses pontos para formar o novo triângulo reduzido.

Este triângulo manterá a forma do triângulo original ABC, mas com metade do tamanho dos lados.

Questão 11. Flávia representou o triângulo ABC no plano cart...

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