(UFRGS-RS) A partir de quatro dos vértices de um cubo de aresta 6, construído com madeira maciça, foram recortadas pirâmides triangulares congruentes, cada uma tendo três arestas de medida 3, conforme representado na figura 1. O sólido obtido após a retirada das pirâmides está representado na figura 2, a seguir.
O volume do sólido obtido é

Question

Accepted Answer

Para resolver o problema, precisamos calcular o volume do sólido obtido após a retirada das pirâmides do cubo.

1. **Volume do cubo original:**
   - O cubo tem aresta $6$.
   - Volume do cubo: $V_{\text{cubo}} = 6^3 = 216$.

2. **Volume das pirâmides:**
   - Cada pirâmide tem base triangular e altura que coincide com a metade da aresta do cubo (ou seja, $3$).
   - A base da pirâmide é um triângulo equilátero com lado $3$.
   - Área da base da pirâmide: 
     $$
     A_{\text{base}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 3^2 = \frac{9\sqrt{3}}{4}
     $$
   - Volume de uma pirâmide: 
     $$
     V_{\text{pirâmide}} = \frac{1}{3} \times A_{\text{base}} \times 3 = \frac{1}{3} \times \frac{9\sqrt{3}}{4} \times 3 = \frac{27\sqrt{3}}{12} = \frac{9\sqrt{3}}{4}
     $$

3. **Volume total das quatro pirâmides:**
   - Como são quatro pirâmides:
     $$
     V_{\text{total pirâmides}} = 4 \times \frac{9\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}
     $$

4. **Volume do sólido obtido:**
   - Subtraímos o volume das pirâmides do volume do cubo:
     $$
     V_{\text{sólido}} = V_{\text{cubo}} - V_{\text{total pirâmides}} = 216 - 9\sqrt{3}
     $$

Portanto, o volume do sólido obtido é $216 - 9\sqrt{3}$.

(UFRGS-RS) A partir de quatro dos vértices de um cubo de are...

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