Um losango tem 40 cm de perímetro. Se a medida da diagonal maior é o dobro da medida da diagonal menor, a área desse losango é:
*
1 ponto
a)100cm²
b)80cm²
c)90cm²
d)120cm²
e)40cm²

Question

Um losango tem 40 cm de perímetro. Se a medida da diagonal maior é o dobro da medida da diagonal menor, a área desse losango é:
*
1 ponto
a)100cm²
b)80cm²
c)90cm²
d)120cm²
e)40cm²

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos seguir os seguintes passos:

1. Determinar a medida dos lados do losango.
2. Encontrar as medidas das diagonais.
3. Calcular a área do losango.

### Passo 1: Determinar a medida dos lados do losango

O perímetro de um losango é a soma dos quatro lados. Como todos os lados são iguais:

$$ 4l = 40 $$
$$ l = \frac{40}{4} $$
$$ l = 10 \, \text{cm} $$

### Passo 2: Encontrar as medidas das diagonais

Seja $ d_1 $ a diagonal menor e $ d_2 $ a diagonal maior. Sabemos que $ d_2 = 2d_1 $.

Para encontrar as diagonais, utilizamos a relação entre os lados e as diagonais em um losango. Cada lado do losango forma um triângulo retângulo com metade das diagonais:

$$ l^2 = \left( \frac{d_1}{2} \right)^2 + \left( \frac{d_2}{2} \right)^2 $$
$$ 10^2 = \left( \frac{d_1}{2} \right)^2 + \left( \frac{d_2}{2} \right)^2 $$
$$ 100 = \left( \frac{d_1}{2} \right)^2 + \left( \frac{2d_1}{2} \right)^2 $$
$$ 100 = \left( \frac{d_1}{2} \right)^2 + \left( d_1 \right)^2 $$
$$ 100 = \frac{d_1^2}{4} + d_1^2 $$
$$ 100 = \frac{d_1^2}{4} + \frac{4d_1^2}{4} $$
$$ 100 = \frac{5d_1^2}{4} $$
$$ 400 = 5d_1^2 $$
$$ d_1^2 = 80 $$
$$ d_1 = \sqrt{80} $$
$$ d_1 = 4\sqrt{5} \, \text{cm} $$

Então, $ d_2 = 2d_1 = 8\sqrt{5} \, \text{cm} $.

### Passo 3: Calcular a área do losango

A área $ A $ de um losango é dada por:

$$ A = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} $$
$$ A = \frac{4\sqrt{5} \cdot 8\sqrt{5}}{2} $$
$$ A = \frac{32 \cdot 5}{2} $$
$$ A = \frac{160}{2} $$
$$ A = 80 \, \text{cm}^2 $$

**Resposta: b**

A área desse losango é **80 cm²**.

Um losango tem 40 cm de perímetro. Se a medida da diagonal m...

Um losango tem 40 cm de perímetro. Se a medida da diagonal maior é o dobro da medida da diagonal menor, a área desse losango é: * 1 ponto a)100cm² b)80cm² c)90cm² d)120cm² e)40cm²

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