Um número n! = 1  2  3  ...  n foi escrito como o produto dos seus fatores primos e ficou da
seguinte forma, na qual os fatores estão em ordem crescente e com os seus respectivos expoentes:
249 · 323 · 512 · 78 · 11 4 · 134 · 173 · 192 · 232 · 29· 31 · 37· 41 · 43· 47
Alguns dos fatores primos e expoentes do número na nova forma foram borrados acidentalmente.
Qual é o expoente do fator 17?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

Question

Accepted Answer

Para encontrar o expoente do fator primo 17 na fatoração de $n!$, precisamos entender como os expoentes dos fatores primos são calculados na fatoração de um fatorial.

A fórmula para calcular o expoente de um fator primo $p$ na fatoração de $n!$ é dada por:

$$
e_p(n!) = \left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^3} \right\rfloor + \cdots
$$

Até que $n/p^k < 1$.

Onde $\left\lfloor x \right\rfloor$ denota a função piso de $x$, que é o maior número inteiro menor ou igual a $x$.

Dado que estamos procurando o expoente do fator primo 17, substituímos $p$ por 17 na fórmula acima.

$$
e_{17}(n!) = \left\lfloor \frac{n}{17} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{17^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{17^3} \right\rfloor + \cdots
$$

Como não sabemos $n$, precisamos usar as informações fornecidas. A presença de 17 como um fator primo na fatoração de $n!$ indica que $n \geq 17$. Entretanto, não temos informações suficientes diretamente na pergunta para determinar $n$.

Vamos analisar os fatores primos dados: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, e 47. A presença de 47 como um fator primo sugere que $n \geq 47$, pois este é o maior primo listado. Isso significa que, pelo menos, $n = 47$ ou maior, mas sem um valor específico de $n$, não podemos calcular diretamente.

No entanto, a questão pede especificamente o expoente do fator 17, e não o valor de $n$. Vamos focar apenas em calcular o expoente de 17:

Para $n \geq 47$, o cálculo é:

$$
e_{17}(n!) = \left\lfloor \frac{n}{17} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{17^2} \right\rfloor
$$

Considerando $n=47$ (o mínimo valor possível dado pelos fatores primos mais altos visíveis):

$$
e_{17}(47!) = \left\lfloor \frac{47}{17} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{47}{289} \right\rfloor = 2 + 0 = 2
$$

Então, o expoente do fator primo 17 na fatoração de $n!$ é 2.

Portanto, a resposta correta é (B) 2.

Um número n! = 1  2  3  ...  n foi escrito como o produt...

Ask a question and receive an answer instantly