Para qual valor real de x o módulo do complexo z = (1 - x) + 2xi é o menor possível?

A) 0;
B) 1/2;
C) 1/4;
D) 2/5;
E) 3/10;

Q: Para qual valor real de x o módulo do complexo z = (1 - x) + 2xi é o menor possível? A) 0; B) 1/2; C) 1/4; D) 2/5; E) 3/10;

Para determinar o valor de $ x $ para o qual o módulo do complexo $ z = (1 - x) + 2xi $ é o menor possível, calculamos o módulo de $ z $: \[ |z| = \sqrt{(1-x)^2 + (2x)^2} \] \[ |z| = \sqrt{(1-x)^2 + 4x^2} \] \[ |z| = \sqrt{1 - 2x + x^2 + 4x^2} \] \[ |z| = \sqrt{1 + 3x^2 - 2x} \] Para minimizar $ |z| $, minimizamos $ 1 + 3x^2 - 2x $. Derivamos em relação a $ x $ e igualamos a zero: \[ f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \] \[ f'(x) = 6x - 2 \] Igualando a zero: \[ 6x - 2 = 0 \] \[ 6x = 2 \] \[ x = \frac{1}{3} \] Verificamos se é mínimo usando a segunda derivada: \[ f''(x) = 6 \] Como $ f''(x) > 0 $, temos um ponto de mínimo. **Resposta: E** O valor de $ x $ para o qual o módulo é mínimo é $ \frac{1}{3} $.

Question

Para qual valor real de x o módulo do complexo z = (1 - x) + 2xi é o menor possível?

A) 0;
B) 1/2;
C) 1/4;
D) 2/5;
E) 3/10;

Accepted Answer

Para determinar o valor de $ x $ para o qual o módulo do complexo $ z = (1 - x) + 2xi $ é o menor possível, calculamos o módulo de $ z $:

$$
|z| = \sqrt{(1-x)^2 + (2x)^2}
$$

$$
|z| = \sqrt{(1-x)^2 + 4x^2}
$$

$$
|z| = \sqrt{1 - 2x + x^2 + 4x^2}
$$

$$
|z| = \sqrt{1 + 3x^2 - 2x}
$$

Para minimizar $ |z| $, minimizamos $ 1 + 3x^2 - 2x $. Derivamos em relação a $ x $ e igualamos a zero:

$$
f(x) = 3x^2 - 2x + 1
$$

$$
f'(x) = 6x - 2
$$

Igualando a zero:

$$
6x - 2 = 0
$$

$$
6x = 2
$$

$$
x = \frac{1}{3}
$$

Verificamos se é mínimo usando a segunda derivada:

$$
f''(x) = 6
$$

Como $ f''(x) > 0 $, temos um ponto de mínimo.

**Resposta: E**

O valor de $ x $ para o qual o módulo é mínimo é $ \frac{1}{3} $.