Use a série de potência para resolver a equação y′′+y=0

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Accepted Answer

Para resolver a equação diferencial $ y'' + y = 0 $ usando uma série de potência, vamos assumir que a solução $ y(x) $ pode ser expressa como uma série de potências:

$$ y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n $$

Primeiro, calculamos as derivadas necessárias:

1. Primeira derivada:
$$ y'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n n x^{n-1} $$

2. Segunda derivada:
$$ y''(x) = \sum_{n=2}^{\infty} a_n n (n-1) x^{n-2} $$

Substituindo essas expressões na equação diferencial $ y'' + y = 0 $:

$$ \sum_{n=2}^{\infty} a_n n (n-1) x^{n-2} + \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = 0 $$

Para combinar essas séries, precisamos ajustar os índices de soma. Vamos reindexar a primeira série para que ambas as séries tenham a mesma forma $ x^n $.

Reindexando a primeira série:
$$ \sum_{n=2}^{\infty} a_n n (n-1) x^{n-2} = \sum_{m=0}^{\infty} a_{m+2} (m+2)(m+1) x^m $$
onde fizemos a substituição $ m = n-2 $.

Agora, a equação fica:
$$ \sum_{m=0}^{\infty} a_{m+2} (m+2)(m+1) x^m + \sum_{m=0}^{\infty} a_m x^m = 0 $$

Podemos combinar as duas somas:
$$ \sum_{m=0}^{\infty} \left[ a_{m+2} (m+2)(m+1) + a_m \right] x^m = 0 $$

Para que essa equação seja verdadeira para todo $ x $, o coeficiente de cada potência de $ x $ deve ser zero:
$$ a_{m+2} (m+2)(m+1) + a_m = 0 $$

Isso nos dá a relação de recorrência:
$$ a_{m+2} = -\frac{a_m}{(m+2)(m+1)} $$

Vamos encontrar os coeficientes $ a_n $ começando com $ a_0 $ e $ a_1 $ como constantes arbitrárias (valores iniciais):

Para $ m = 0 $:
$$ a_2 = -\frac{a_0}{2} $$

Para $ m = 1 $:
$$ a_3 = -\frac{a_1}{6} $$

Para $ m = 2 $:
$$ a_4 = -\frac{a_2}{12} = \frac{a_0}{24} $$

Para $ m = 3 $:
$$ a_5 = -\frac{a_3}{20} = \frac{a_1}{120} $$

E assim por diante. Observamos que os coeficientes $ a_n $ alternam em sinal e envolvem fatoriais.

Podemos resumir os coeficientes como:
$$ a_{2n} = \frac{(-1)^n a_0}{(2n)!} $$
$$ a_{2n+1} = \frac{(-1)^n a_1}{(2n+1)!} $$

Portanto, a solução geral é:
$$ y(x) = a_0 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} + a_1 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} $$

Reconhecemos essas séries como as expansões em série de Taylor para as funções cosseno e seno, respectivamente:

$$ y(x) = a_0 \cos(x) + a_1 \sin(x) $$

Assim, a solução geral da equação diferencial $ y'' + y = 0 $ é:

$$ y(x) = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) $$

onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Use a série de potência para resolver a equação y′′+y=0

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