Questão 1. Lembre que cosh(bt) = (e^(bt) + e^(-bt))/2 e sinh(bt) = (e^(bt) - e^(-bt))/2. Em cada um dos Problemas, dê a transformada de Laplace da função dada; considerando a e b constantes reais.
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f(t) = e^(at) cosh(bt)
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f(t) = e^(at) sinh(bt)
Questão 2 (A Função Gama). A função gama é denotada por Γ(p) e definida pela integral
Γ(p + 1) = ∫_0^∞ e^(-x)x^p dx
A integral converge quando x → ∞ para todo p. Para p < 0 é uma integral imprópria também em 0, porque o integrando torna-se ilimitado quando x → 0. No entanto, pode-se mostrar que a integral converge em x = 0 para p > -1.
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Mostre que, para p > 0, Γ(p + 1) = pΓ(p).
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Mostre que Γ(1) = 1
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Se p for um inteiro positivo, mostre que Γ(n + 1) = n!
Questão 3. Determine a transformada de Laplace inversa das funções
F(s) = (2s - 5)/(s^2 + s - 12)
G(s) = 2/(s^2 + 2)(s - 1) + 1/((s + 2)(s - 1))
H(s) = 3/(s - 1)(s^2 + 4)
Remark 0.1. Acima deve ser dada a função, f(t), cuja transformada de Laplace é a função dada, F(s).
Questão 4. Seja a uma constante. Sabendo-se que a transformada de Laplace de f(t) = sen(at) é
F(s) = a/(s^2 + a^2), para s > 0
e a de g(t) = t cos(at) é
G(s) = (s^2 - a^2)/(s^2 + a^2)^2, para s > 0
mostre que a transformada de Laplace de h(t) = sen(at) - at cos(at) é
H(s) = (2a^3)/(s^2 + a^2)^2, para s > 0.
Questão 5. Resolva os problemas da valor inicial usando a transformada de Laplace:
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y'' + 2y' + 5y = e^(-t)cos(2t), y(0) = 1, y'(0) = 0.
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y'' - 2y' - 3y = 3e^(2t), y(0) = 1, y'(0) = 0.
