(Fuvest-Ete 2023) Um barco move-se com velocidade constante v0 = 8 m/s por 1 minuto e depois desliga os motores e segue com velocidade variável da forma v(t) = v0 t1^2/t^2 (onde t1 = 1 minuto), conforme o gráfico a seguir.
Qual das alternativas a seguir melhor representa o gráfico da aceleração do barco nesse intervalo?

Question

Accepted Answer

Para encontrar o gráfico da aceleração, precisamos calcular a derivada da função de velocidade $ v(t) $.

A função dada é:

$$ v(t) = v_0 \frac{t_1^2}{t^2} $$

onde $ v_0 = 8 \, \text{m/s} $ e $ t_1 = 60 \, \text{s} $.

A aceleração $ a(t) $ é a derivada de $ v(t) $ em relação ao tempo $ t $:

$$ a(t) = \frac{d}{dt} \left( v_0 \frac{t_1^2}{t^2} \right) $$

$$ a(t) = v_0 \cdot \frac{d}{dt} \left( \frac{t_1^2}{t^2} \right) $$

Usando a regra do quociente, temos:

$$ \frac{d}{dt} \left( \frac{t_1^2}{t^2} \right) = -2 \frac{t_1^2}{t^3} $$

Portanto, a aceleração é:

$$ a(t) = -2 v_0 \frac{t_1^2}{t^3} $$

Substituindo os valores:

$$ a(t) = -2 \cdot 8 \cdot \frac{60^2}{t^3} $$

$$ a(t) = -96000 \frac{1}{t^3} $$

O gráfico de $ a(t) $ será uma curva que começa em um valor negativo (quando $ t > 60 \, \text{s} $) e tende a zero à medida que $ t $ aumenta. Isso corresponde a uma aceleração negativa que diminui em magnitude ao longo do tempo.

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