Numa central telefônica, o número de chamadas é em média de 6 por minuto. a probabilidade de se ter duas chamadas em 20 segundos:
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WESLEY
01/07/24

Question

Numa central telefônica, o número de chamadas é em média de 6 por minuto. a probabilidade de se ter duas chamadas em 20 segundos:

Accepted Answer

Para resolver este problema, usaremos a distribuição de Poisson, que é adequada para modelar o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e de forma independente.

A fórmula da distribuição de Poisson é:

$$ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $$

onde:
- $ \lambda $ é o número médio de eventos no intervalo de tempo considerado,
- $ k $ é o número de eventos desejado,
- $ e $ é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2.71828).

Primeiro, precisamos ajustar a taxa média de chamadas para o intervalo de 20 segundos. Sabemos que a taxa média é de 6 chamadas por minuto (60 segundos). Portanto, a taxa média por segundo é:

$$ \frac{6 \text{ chamadas}}{60 \text{ segundos}} = 0.1 \text{ chamadas/segundo} $$

Agora, para 20 segundos, a taxa média ($\lambda$) será:

$$ \lambda = 0.1 \text{ chamadas/segundo} \times 20 \text{ segundos} = 2 \text{ chamadas} $$

Queremos encontrar a probabilidade de ter exatamente 2 chamadas em 20 segundos ($k = 2$):

$$ P(X = 2) = \frac{2^2 e^{-2}}{2!} $$

Calculando cada parte da fórmula:

$$ 2^2 = 4 $$
$$ e^{-2} \approx 0.1353 $$
$$ 2! = 2 $$

Portanto:

$$ P(X = 2) = \frac{4 \times 0.1353}{2} = \frac{0.5412}{2} = 0.2706 $$

Assim, a probabilidade de se ter duas chamadas em 20 segundos é aproximadamente 0.2706, ou 27.06%.