Um produtor de sementes vende pacotes com 20 sementes cada. Os pacotes que
apresentarem mais de uma semente sem germinar são indenizados. A
probabilidade de uma semente germinar é 0,98. Dessa forma, pede-se:
a) Qual é a probabilidade de que um pacote não seja indenizado?
b) Se o produtor vender 1.000 pacotes, em quantos pacotes se espera indenizar?
c) Em cada pacote indenizado, o produtor tem prejuízo de R$1,20, e para cada
pacote não indenizado, o produtor tem lucro de R$2,50. Qual o lucro líquido
esperado por pacote?
d) Calcule a média, a variância e o desvio padrão do número de sementes por
pacote que germinam.

Question

Um produtor de sementes vende pacotes com 20 sementes cada. Os pacotes que
apresentarem mais de uma semente sem germinar são indenizados. A
probabilidade de uma semente germinar é 0,98. Dessa forma, pede-se:
a) Qual é a probabilidade de que um pacote não seja indenizado?
b) Se o produtor vender 1.000 pacotes, em quantos pacotes se espera indenizar?
c) Em cada pacote indenizado, o produtor tem prejuízo de R$1,20, e para cada
pacote não indenizado, o produtor tem lucro de R$2,50. Qual o lucro líquido
esperado por pacote?
d) Calcule a média, a variância e o desvio padrão do número de sementes por
pacote que germinam.

Accepted Answer

Vamos resolver cada parte do problema:

### Parte (a)
A probabilidade de uma semente não germinar é $1 - 0,98 = 0,02$. Vamos usar a distribuição binomial para calcular a probabilidade de que no máximo uma semente não germine em um pacote de 20 sementes.

A probabilidade de $X$, o número de sementes que não germinam, ser igual a $k$ em uma distribuição binomial é dada por:
$$ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} $$

Para $n = 20$ e $p = 0,02$:

- Probabilidade de nenhuma semente não germinar ($k = 0$):
$$ P(X = 0) = \binom{20}{0} (0,02)^0 (0,98)^{20} = (0,98)^{20} $$

- Probabilidade de uma semente não germinar ($k = 1$):
$$ P(X = 1) = \binom{20}{1} (0,02)^1 (0,98)^{19} = 20 \times 0,02 \times (0,98)^{19} $$

Então, a probabilidade de que um pacote não seja indenizado é:
$$ P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1) $$

Calculando os valores:
$$ P(X = 0) = (0,98)^{20} \approx 0,6676 $$
$$ P(X = 1) = 20 \times 0,02 \times (0,98)^{19} \approx 0,2725 $$

Portanto:
$$ P(X \leq 1) \approx 0,6676 + 0,2725 = 0,9401 $$

### Parte (b)
Se o produtor vender 1.000 pacotes, o número esperado de pacotes a serem indenizados é dado pela probabilidade de indenização multiplicada pelo número total de pacotes.

A probabilidade de indenização é $1 - P(X \leq 1)$:
$$ P(\text{indenização}) = 1 - 0,9401 = 0,0599 $$

Número esperado de pacotes indenizados:
$$ E(\text{pacotes indenizados}) = 1000 \times 0,0599 = 59,9 \approx 60 $$

### Parte (c)
O lucro líquido esperado por pacote é a diferença entre o lucro dos pacotes não indenizados e o prejuízo dos pacotes indenizados.

- Lucro por pacote não indenizado: R$2,50
- Prejuízo por pacote indenizado: R$1,20

Usando as probabilidades calculadas:
$$ \text{Lucro esperado por pacote} = P(\text{não indenizado}) \times 2,50 - P(\text{indenizado}) \times 1,20 $$

Substituindo os valores:
$$ \text{Lucro esperado por pacote} = 0,9401 \times 2,50 - 0,0599 \times 1,20 $$
$$ \text{Lucro esperado por pacote} = 2,35025 - 0,07188 $$
$$ \text{Lucro esperado por pacote} \approx 2,27837 $$

### Parte (d)
Para a distribuição binomial, a média ($\mu$), a variância ($\sigma^2$) e o desvio padrão ($\sigma$) são dados por:

- Média:
$$ \mu = np $$
- Variância:
$$ \sigma^2 = np(1-p) $$
- Desvio padrão:
$$ \sigma = \sqrt{np(1-p)} $$

Para $n = 20$ e $p = 0,98$:

- Média:
$$ \mu = 20 \times 0,98 = 19,6 $$

- Variância:
$$ \sigma^2 = 20 \times 0,98 \times (1 - 0,98) = 20 \times 0,98 \times 0,02 = 0,392 $$

- Desvio padrão:
$$ \sigma = \sqrt{0,392} \approx 0,626 $$

Portanto, os resultados são:
- Média: $19,6$
- Variância: $0,392$
- Desvio padrão: $0,626$

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