Placas de vídeo são expelidas em lotes de 30 unidades. Antes que a remessa seja aprovada, um inspetor escolhe aleatoriamente cinco placas do lote e as inspeciona. Se uma ou mais forem defeituosas, todo o lote é inspecionado. Suponha que haja três placas defeituosas nesse lote. Qual a probabilidade de que o controle de qualidade aponte para a inspeção total?

Question

Accepted Answer

Para calcular a probabilidade de que o controle de qualidade aponte para a inspeção total, precisamos determinar a probabilidade de que pelo menos uma das cinco placas escolhidas aleatoriamente seja defeituosa.

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de que nenhuma das cinco placas escolhidas seja defeituosa.

A quantidade total de placas no lote é 30, e há 3 placas defeituosas. Portanto, há 27 placas não defeituosas.

A probabilidade de escolher uma placa não defeituosa na primeira tentativa é:

$$
\frac{27}{30}
$$

A probabilidade de escolher uma placa não defeituosa na segunda tentativa (sem reposição) é:

$$
\frac{26}{29}
$$

A probabilidade de escolher uma placa não defeituosa na terceira tentativa é:

$$
\frac{25}{28}
$$

A probabilidade de escolher uma placa não defeituosa na quarta tentativa é:

$$
\frac{24}{27}
$$

A probabilidade de escolher uma placa não defeituosa na quinta tentativa é:

$$
\frac{23}{26}
$$

Agora, a probabilidade de que todas as cinco placas escolhidas sejam não defeituosas é o produto dessas probabilidades:

$$
P(\text{todas não defeituosas}) = \frac{27}{30} \times \frac{26}{29} \times \frac{25}{28} \times \frac{24}{27} \times \frac{23}{26}
$$

Vamos simplificar isso passo a passo:

$$
P(\text{todas não defeituosas}) = \frac{27 \times 26 \times 25 \times 24 \times 23}{30 \times 29 \times 28 \times 27 \times 26}
$$

Cancelando os termos comuns no numerador e denominador, temos:

$$
P(\text{todas não defeituosas}) = \frac{23}{30} \times \frac{24}{29} \times \frac{25}{28} \times \frac{1}{1} \times \frac{1}{1}
$$

Agora, calculamos a probabilidade:

$$
P(\text{todas não defeituosas}) \approx 0.391
$$

A probabilidade de que pelo menos uma placa seja defeituosa é o complemento dessa probabilidade:

$$
P(\text{pelo menos uma defeituosa}) = 1 - P(\text{todas não defeituosas})
$$

$$
P(\text{pelo menos uma defeituosa}) = 1 - 0.391 \approx 0.609
$$

Portanto, a probabilidade de que o controle de qualidade aponte para a inspeção total é aproximadamente 0.609, ou 60.9%.

Placas de vídeo são expelidas em lotes de 30 unidades. Antes...

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