Considere duas variáveis aleatórias X e Y. Suponha que X seja distribuída de acordo com a seguinte função de densidade:

f_x(x) = { 1, se x ∈ (0,1) 0, caso contrário

Suponha ainda que

f_{Y|X}(y|x) = { 1/x, se y ∈ (0,x) 0, caso contrário

Calcule E[Y]. Multiplique o resultado por 100 e escolha a alternativa correta. Dica: você precisará usar a Lei das Expectativas Iteradas (L.E.I.), um resultado muito útil e recorrente em econometria e estatística:
E[E[Y|X]|X] = E[Y].

Q: Considere duas variáveis aleatórias X e Y. Suponha que X seja distribuída de acordo com a seguinte função de densidade: f_x(x) = { 1, se x ∈ (0,1) 0, caso contrário Suponha ainda que f_{Y|X}(y|x) = { 1/x, se y ∈ (0,x) 0, caso contrário Calcule E[Y]. Multiplique o resultado por 100 e escolha a alternativa correta. Dica: você precisará usar a Lei das Expectativas Iteradas (L.E.I.), um resultado muito útil e recorrente em econometria e estatística: E[E[Y|X]|X] = E[Y].

Para resolver essa questão, precisamos calcular $ E[Y] $ usando a Lei das Expectativas Iteradas (LEI), que nos diz que $ E[E[Y|X]] = E[Y] $. 1. Primeiro, calcule $ E[Y|X=x] $: \[ E[Y|X=x] = \int_0^x y \cdot f_{Y|X}(y|x) \, dy = \int_0^x y \cdot \frac{1}{x} \, dy = \frac{1}{x} \int_0^x y \, dy \] \[ \int_0^x y \, dy = \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^x = \frac{x^2}{2} \] \[ E[Y|X=x] = \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x}{2} \] 2. Agora, calcule $ E[Y] $ usando $ E[X] $: \[ E[Y] = E\left[\frac{X}{2}\right] = \frac{1}{2}E[X] \] $ X $ é uniformemente distribuído em $ (0, 1) $, então: \[ E[X] = \int_0^1 x \cdot 1 \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2} \] \[ E[Y] = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \] 3. Multiplique o resultado por 100: \[ 100 \cdot E[Y] = 100 \cdot \frac{1}{4} = 25 \] **Resposta: E** Portanto, a alternativa correta é **25**.

Question

Considere duas variáveis aleatórias X e Y. Suponha que X seja distribuída de acordo com a seguinte função de densidade:

f_x(x) = { 1, se x ∈ (0,1) 0, caso contrário

Suponha ainda que

f_{Y|X}(y|x) = { 1/x, se y ∈ (0,x) 0, caso contrário

Calcule E[Y]. Multiplique o resultado por 100 e escolha a alternativa correta. Dica: você precisará usar a Lei das Expectativas Iteradas (L.E.I.), um resultado muito útil e recorrente em econometria e estatística:
E[E[Y|X]|X] = E[Y].

Accepted Answer

Para resolver essa questão, precisamos calcular $ E[Y] $ usando a Lei das Expectativas Iteradas (LEI), que nos diz que $ E[E[Y|X]] = E[Y] $.

1. Primeiro, calcule $ E[Y|X=x] $:
   $$
   E[Y|X=x] = \int_0^x y \cdot f_{Y|X}(y|x) \, dy = \int_0^x y \cdot \frac{1}{x} \, dy = \frac{1}{x} \int_0^x y \, dy
   $$
   $$
   \int_0^x y \, dy = \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^x = \frac{x^2}{2}
   $$
   $$
   E[Y|X=x] = \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x}{2}
   $$

2. Agora, calcule $ E[Y] $ usando $ E[X] $:
   $$
   E[Y] = E\left[\frac{X}{2}\right] = \frac{1}{2}E[X]
   $$
   $ X $ é uniformemente distribuído em $ (0, 1) $, então:
   $$
   E[X] = \int_0^1 x \cdot 1 \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2}
   $$
   $$
   E[Y] = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}
   $$

3. Multiplique o resultado por 100:
   $$
   100 \cdot E[Y] = 100 \cdot \frac{1}{4} = 25
   $$

**Resposta: E**

Portanto, a alternativa correta é **25**.

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