Considere a seguinte tábua de operações. Identifique o porquê essa
tábua não representa um grupo, explicando quais das condições de grupo não
estão satisfeitas e quais estão.

. e a b c d
e e a b c d
a d e a b c
b c d e a b
c b c d e a
d a b c d e

Como podemos usar a tábua de operações para saber se um grupo é co-
mutativo ou não?

Question

Considere a seguinte tábua de operações. Identifique o porquê essa
tábua não representa um grupo, explicando quais das condições de grupo não
estão satisfeitas e quais estão.

. e a b c d 
e e a b c d
a d e a b c
b c d e a b
c b c d e a
d a b c d e

Como podemos usar a tábua de operações para saber se um grupo é co-
mutativo ou não?

Accepted Answer

Para que uma tábua de operações represente um grupo, quatro condições devem ser satisfeitas:

1. **Fechamento**: Para todos os elementos $x$ e $y$ no conjunto, a operação $x \circ y$ deve resultar em um elemento que também pertença ao conjunto.
2. **Elemento neutro**: Existe um elemento $e$ no conjunto tal que, para todo elemento $x$ no conjunto, $x \circ e = e \circ x = x$.
3. **Elemento inverso**: Para cada elemento $x$ no conjunto, existe um elemento $y$ tal que $x \circ y = y \circ x = e$, onde $e$ é o elemento neutro.
4. **Associatividade**: Para quaisquer três elementos $x$, $y$, e $z$ do conjunto, $(x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z)$.

Agora, vamos examinar a tábua de operações dada e verificar se essas condições são satisfeitas:

1. **Fechamento**: A tábua demonstra fechamento, já que todas as operações entre elementos do conjunto resultam em elementos que também pertencem ao conjunto.

2. **Elemento neutro**: Pela primeira linha/coluna, observamos que o elemento $e$ funciona como elemento neutro, satisfazendo $x \circ e = e \circ x = x$ para todos $x$.

3. **Elemento inverso**: Para verificar se cada elemento tem seu inverso, devemos verificar se, para cada elemento $x$, existe um $y$ tal que $x \circ y = y \circ x = e$. Isso parece ser atendido olhando para a tábua, onde cada elemento parece ter seu inverso.

4. **Associatividade**: Essa é a propriedade mais difícil de verificar apenas olhando para a tábua, pois requer testar todas as combinações possíveis de três elementos. Para afirmar com certeza, teríamos que realizar a verificação manual ou computacional de todas as combinações possíveis.

No entanto, sem realizar essa verificação detalhada da associatividade, não podemos afirmar com certeza se a tábua representa um grupo, mas as primeiras três condições parecem ser satisfeitas.

Para determinar se um grupo é comutativo (ou abeliano), precisamos verificar se a operação é comutativa, ou seja, $x \circ y = y \circ x$ para todos $x$ e $y$ no conjunto. Isso pode ser feito observando se a tábua de operações é simétrica em relação à sua diagonal principal. Se for o caso, o grupo é comutativo; se não, o grupo não é comutativo.

Na tábua fornecida, vemos, por exemplo, $a \circ b = c$ mas $b \circ a = d$, o que demonstra que a tábua não é simétrica em relação à diagonal principal, indicando que esta estrutura, se satisfaz as condições para ser um grupo, não é um grupo comutativo.

Considere a seguinte tábua de operações. Identifique o porqu...

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