(ESPM-SP) Na sequênciaa $ S=(3, x, y, x, x-6) $ sabe-se que os três primeiros termos formam uma PG estritamente crescente e os três últimos termos formam uma PA. Sendo $ q $ a razão da PG e $ r $ a razão da PA, o valor de $ q $ - $ r $ é:
a) 4
c) -4
e) 8
b) 0
d) -8

Question

Accepted Answer

**Resposta: D**

Vamos resolver passo a passo.

Primeiro, sabemos que os três primeiros termos $ (3, x, y) $ formam uma PG estritamente crescente. Em uma PG, a razão $ q $ é constante, então temos:
$$ x = 3q $$
$$ y = 3q^2 $$

Agora, sabemos que os três últimos termos $ (y, x, x-6) $ formam uma PA. Em uma PA, a diferença $ r $ é constante, então temos:
$$ x - y = r $$
$$ x - 6 - x = r $$
$$ -6 = r $$

Substituindo $ y = 3q^2 $ e $ x = 3q $ na fórmula da PA:
$$ 3q - 3q^2 = -6 $$
$$ 3q(1 - q) = -6 $$
$$ q(1 - q) = -2 $$

Resolvendo essa equação quadrática:
$$ q - q^2 = -2 $$
$$ q^2 - q - 2 = 0 $$

Fatorando a equação quadrática:
$$ (q - 2)(q + 1) = 0 $$

Então, temos duas soluções possíveis para $ q $:
$$ q = 2 \quad \text{ou} \quad q = -1 $$

Como a PG é estritamente crescente, descartamos $ q = -1 $ e ficamos com $ q = 2 $.

Agora, calculamos $ q - r $:
$$ q - r = 2 - (-6) = 2 + 6 = 8 $$

Portanto, o valor de $ q - r $ é:

**Resposta: D**

Explicação: A razão da PG é $ q = 2 $ e a razão da PA é $ r = -6 $. Então, $ q - r = 2 - (-6) = 8 $.

(ESPM-SP) Na sequênciaa \( S=(3, x, y, x, x-6) \) sabe-se que os três primeiros termos formam uma PG estritamente crescente e os três últimos termos formam uma PA. Sendo \( q \) a razão da PG e \( r \) a razão da PA, o valor de \( q \) - \( r \) é: a) 4 c) -4 e) 8 b) 0 d) -8