(UFPR) A parte superior de uma taça tem o formato de um cone, com as dimensões indicadas na figura.

4 cm

12 cm

x
a) Qual o volume de líquido que essa taça comporta quando está completamente cheia?

b) Obtenha uma expressão para o volume V de líquido nessa taça, em função da altura x indicada na figura.

Question

(UFPR) A parte superior de uma taça tem o formato de um cone, com as dimensões indicadas na figura.

4 cm

12 cm

x
a) Qual o volume de líquido que essa taça comporta quando está completamente cheia?

b) Obtenha uma expressão para o volume V de líquido nessa taça, em função da altura x indicada na figura.

Accepted Answer

Para resolver as questões, vamos usar a fórmula do volume de um cone:

$$ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h $$

onde $ r $ é o raio da base e $ h $ é a altura do cone.

### a) Volume quando a taça está completamente cheia

A taça tem um raio de 4 cm e uma altura de 12 cm. Substituindo na fórmula:

$$ V = \frac{1}{3} \pi (4)^2 (12) $$

$$ V = \frac{1}{3} \pi (16) (12) $$

$$ V = \frac{1}{3} \pi (192) $$

$$ V = 64\pi $$

Portanto, o volume é $ 64\pi \, \text{cm}^3 $.

### b) Expressão para o volume em função da altura $ x $

Se a altura do líquido é $ x $, o raio correspondente é proporcional a $ x $. A relação entre o raio e a altura é:

$$ \frac{r}{h} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $$

Logo, o raio em função de $ x $ é:

$$ r = \frac{x}{3} $$

Substituindo na fórmula do volume:

$$ V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{x}{3}\right)^2 x $$

$$ V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{x^2}{9}\right) x $$

$$ V = \frac{1}{27} \pi x^3 $$

Portanto, a expressão para o volume em função da altura $ x $ é:

$$ V = \frac{1}{27} \pi x^3 $$

(UFPR) A parte superior de uma taça tem o formato de um cone...