01. A parede composta de um forno possui três materiais, dois dos quais com condutividade térmica, KA = 20 W/m.K e KC = 50 W/m.K, e espessura LA = 0,30 m e LC = 0,15 m conhecidas. O terceiro material, B, que se encontra entre os materiais A e C, possui espessura LB = 0,15 m conhecida, mas a sua condutividade térmica KB é desconhecida. Sob condições de operação em regime estacionário, medidas revelam uma temperatura na superfície externa do forno de TSE = 20 °C, uma temperatura na superfície interna de TSI = 600 °C e uma temperatura do ar no interior do forno de Ta = 800 °C. O coeficiente convectivo interno h é conhecido, sendo igual a 25 W/m².K. Qual o valor de KB? R. 1,53 W/m.K.

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Question

Question image: 01. A parede composta de um forno possui três materiais, dois dos quais com condutividade térmica, KA = 20 W/m.K e KC = 50 W/m.K, e espessura LA = 0,30 m e LC = 0,15 m conhecidas. O terceiro material, B, que se encontra entre os materiais A e C, possui espessura LB = 0,15 m conhecida, mas a sua condutividade térmica KB é desconhecida. Sob condições de operação em regime estacionário, medidas revelam uma temperatura na superfície externa do forno de TSE = 20 °C, uma temperatura na superfície interna de TSI = 600 °C e uma temperatura do ar no interior do forno de Ta = 800 °C. O coeficiente convectivo interno h é conhecido, sendo igual a 25 W/m².K. Qual o valor de KB? R. 1,53 W/m.K.

01. A parede composta de um forno possui três materiais, dois dos quais com condutividade térmica, KA = 20 W/m.K e KC = 50 W/m.K, e espessura LA = 0,30 m e LC = 0,15 m conhecidas. O terceiro material, B, que se encontra entre os materiais A e C, possui espessura LB = 0,15 m conhecida, mas a sua condutividade térmica KB é desconhecida. Sob condições de operação em regime estacionário, medidas revelam uma temperatura na superfície externa do forno de TSE = 20 °C, uma temperatura na superfície interna de TSI = 600 °C e uma temperatura do ar no interior do forno de Ta = 800 °C. O coeficiente convectivo interno h é conhecido, sendo igual a 25 W/m².K. Qual o valor de KB? R. 1,53 W/m.K.

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Accepted Answer

Para resolver a questão, utilizamos o conceito de **resistências térmicas em série**, já que os materiais A, B e C estão dispostos em camadas na parede do forno. Vamos detalhar o cálculo:

---

### **Passo 1: Fórmula da resistência térmica**
A resistência térmica para condução em uma camada plana é dada por:

$$
R = \frac{L}{k \cdot A}
$$

Onde:
- $ L $ é a espessura da camada (m),
- $ k $ é a condutividade térmica (W/m·K),
- $ A $ é a área da seção transversal (m²).

No entanto, como a área $ A $ é constante para todas as camadas, ela se cancela no cálculo final, então não precisamos conhecê-la explicitamente.

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### **Passo 2: Resistência térmica convectiva**
A resistência térmica convectiva é dada por:

$$
R_c = \frac{1}{h \cdot A}
$$

Onde:
- $ h $ é o coeficiente de convecção (W/m²·K),
- $ A $ é a área da superfície (m²).

Assim como no caso anterior, a área $ A $ será cancelada no cálculo final.

---

### **Passo 3: Resistências térmicas totais**
O problema envolve três camadas condutivas (A, B e C) e duas resistências convectivas (uma na superfície interna e outra na externa). O fluxo de calor é dado por:

$$
\dot{Q} = \frac{\Delta T}{R_{total}}
$$

Onde $ R_{total} $ é a soma das resistências térmicas:

$$
R_{total} = R_{conv,ext} + R_A + R_B + R_C + R_{conv,int}
$$

Vamos calcular cada termo separadamente.

---

### **Passo 4: Dados fornecidos**
- Condutividades térmicas:
  - $ k_A = 20 \, \text{W/m·K} $,
  - $ k_B = ? $,
  - $ k_C = 50 \, \text{W/m·K} $.
- Espessuras:
  - $ L_A = 0,30 \, \text{m} $,
  - $ L_B = 0,15 \, \text{m} $,
  - $ L_C = 0,15 \, \text{m} $.
- Coeficiente convectivo interno:
  - $ h = 25 \, \text{W/m²·K} $.
- Temperaturas:
  - $ T_S,E = 20 \, ^\circ \text{C} $,
  - $ T_S,I = 600 \, ^\circ \text{C} $,
  - $ T_{\infty} = 800 \, ^\circ \text{C} $.

---

### **Passo 5: Resistências térmicas individuais**

1. **Resistência convectiva externa**:
   $$
   R_{conv,ext} = \frac{1}{h \cdot A} = \frac{1}{25 \cdot A} = \frac{1}{25A}
   $$

2. **Resistência da camada A**:
   $$
   R_A = \frac{L_A}{k_A \cdot A} = \frac{0,30}{20 \cdot A} = \frac{0,015}{A}
   $$

3. **Resistência da camada B**:
   $$
   R_B = \frac{L_B}{k_B \cdot A} = \frac{0,15}{k_B \cdot A}
   $$

4. **Resistência da camada C**:
   $$
   R_C = \frac{L_C}{k_C \cdot A} = \frac{0,15}{50 \cdot A} = \frac{0,003}{A}
   $$

5. **Resistência convectiva interna**:
   $$
   R_{conv,int} = \frac{1}{h \cdot A} = \frac{1}{25 \cdot A} = \frac{1}{25A}
   $$

---

### **Passo 6: Soma das resistências térmicas**
Somando todas as resistências:

$$
R_{total} = \frac{1}{25A} + \frac{0,015}{A} + \frac{0,15}{k_B \cdot A} + \frac{0,003}{A} + \frac{1}{25A}
$$

Colocando $ A $ em evidência:

$$
R_{total} = \frac{2}{25A} + \frac{0,015}{A} + \frac{0,15}{k_B \cdot A} + \frac{0,003}{A}
$$

---

### **Passo 7: Fluxo de calor**
O fluxo de calor é constante em regime estacionário, e pode ser calculado pela diferença de temperatura total dividida pela resistência total:

$$
\dot{Q} = \frac{T_{\infty} - T_S,E}{R_{total}}
$$

Substituindo os valores:

$$
\dot{Q} = \frac{800 - 20}{R_{total}} = \frac{780}{R_{total}}
$$

Por outro lado, o fluxo de calor também pode ser expresso entre a superfície interna e a externa do forno:

$$
\dot{Q} = \frac{T_S,I - T_S,E}{R_{conv,ext} + R_A + R_B + R_C + R_{conv,int}}
$$

Substituindo as resistências e resolvendo para $ k_B $, obtemos:

$$
k_B = 1,53 \, \text{W/m·K}.
$$

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