01) Determinar a equação da reta mediatriz r do segmento AB de extremidades A(3,1) e B(-5,-1)

02) Qual é a posição da reta r, de equação x+2y-6=0 em relação à reta s de equação 3x+6y-5=0?

03) Determinar a equação geral da reta que passa pelo ponto A(3,1) e é paralela à reta r de equação 5x-y+1=0

Question

01) Determinar a equação da reta mediatriz r do segmento AB de extremidades A(3,1) e B(-5,-1)

02) Qual é a posição da reta r, de equação x+2y-6=0 em relação à reta s de equação 3x+6y-5=0?

03) Determinar a equação geral da reta que passa pelo ponto A(3,1) e é paralela à reta r de equação 5x-y+1=0

Accepted Answer

Vamos resolver cada problema passo a passo.

### Problema 01

Para determinar a equação da reta mediatriz $ r $ do segmento $ AB $ com extremidades $ A(3,1) $ e $ B(-5,-1) $, precisamos seguir os seguintes passos:

1. **Encontrar o ponto médio $ M $ de $ AB $**:
   $$
   M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) = \left( \frac{3 + (-5)}{2}, \frac{1 + (-1)}{2} \right) = \left( -1, 0 \right)
   $$

2. **Determinar o coeficiente angular da reta $ AB $**:
   $$
   m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-1 - 1}{-5 - 3} = \frac{-2}{-8} = \frac{1}{4}
   $$

3. **O coeficiente angular da mediatriz é o negativo do inverso de $ m_{AB} $**:
   $$
   m_r = -\frac{1}{m_{AB}} = -4
   $$

4. **Encontrar a equação da reta usando o ponto médio $ M(-1, 0) $ e o coeficiente angular $ m_r $**:
   $$
   y - y_1 = m_r (x - x_1) \implies y - 0 = -4(x + 1) \implies y = -4x - 4
   $$

Portanto, a equação da reta mediatriz é:
$$
y = -4x - 4
$$

### Problema 02

Para determinar a posição relativa entre as retas $ r $ e $ s $:

1. **Escrever as equações das retas em forma geral**:
   $$
   r: x + 2y - 6 = 0
   $$
   $$
   s: 3x + 6y - 5 = 0
   $$

2. **Comparar os coeficientes angulares**:
   - Para a reta $ r $, $ a_1 = 1 $ e $ b_1 = 2 $.
   - Para a reta $ s $, $ a_2 = 3 $ e $ b_2 = 6 $.

As retas são paralelas se:
   $$
   \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \implies \frac{1}{3} = \frac{2}{6}
   $$

Como a proporção é verdadeira, as retas são paralelas.

Portanto, as retas $ r $ e $ s $ são paralelas.

### Problema 03

Para encontrar a equação da reta que passa pelo ponto $ A(3,1) $ e é paralela à reta $ r $ de equação $ 5x - y + 1 = 0 $:

1. **Determinar o coeficiente angular da reta $ r $**:
   $$
   5x - y + 1 = 0 \implies y = 5x + 1 \implies m_r = 5
   $$

2. **Usar o coeficiente angular $ m_r $ e o ponto $ A(3,1) $ na equação da reta**:
   $$
   y - y_1 = m(x - x_1) \implies y - 1 = 5(x - 3) \implies y - 1 = 5x - 15 \implies y = 5x - 14
   $$

Portanto, a equação geral da reta é:
$$
y = 5x - 14
$$

01) Determinar a equação da reta mediatriz r do segmento AB ...

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