01. Uma unidade astronômica (UA) é a distância média entre a Terra e o Sol, aproximadamente $ \mathbf{1}, \mathbf{5 0} \times \mathbf{1 0}^{8} \mathbf{~ k m} $. A velocidade da luz é aproximadamente $ 3,0 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s} $. Expressa a velocidade da luz em unidades astronômicas por minuto. ( 15 Pontos)
02. Uma partícula material tem a seguinte lei do movimento: $ \vec{r}_{(t)}=\left(3 t^{2}+5\right) \hat{\imath}-2 t^{3} \hat{\jmath}(m) $
02.1. Escreve, em função do tempo, a expressão cartesiana:
A. da velocidade do ponto material $ \vec{v}_{(t)} ; $ ( $ \mathbf{1 0} $ Pontos)
B. da aceleração do ponto material $ \vec{a}_{(t)} $. ( 10 Pontos)
02.2. Determina para $ t=1 \mathrm{~s} $ :
a. A expressão cartesiana do vetor velocidade e a expressão cartesiana do vetor aceleração; (10 Pontos)
b. O ângulo formado por $ \vec{v} $ e $ \vec{a} $. Tira conclusões acerca do movimento nesse instante. (15 Pontos)
03. Dois blocos A e B (com as massas $ 5,0 \mathrm{~kg} $ e 10 kg , respetivamente) estão ligados por uma corda conforme mostra figura 1. A roldana não tem atrito e tem massa desprezível, coeficiente de atrito cinético, entre o bloco A e o plano inclinado, é $ \mu_{c}=0,25 $. Considera $ g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} $.
A. Representa o diagrama de forças de cada um dos blocos A e B. (10 Pontos)
B. Calcula o valor da aceleração de movimento dos blocos. ( 25 Pontos)
C. Determina a intensidade da força de tensão no fio de ligação. ( 10 Pontos)
D. Qual a variação da energia cinética do bloco A, ao se deslocar de C para D, distantes $ \mathbf{2 0} \boldsymbol{m} $ sobre o plano. (10 Pontos)

Figura 1

Question

01. Uma unidade astronômica (UA) é a distância média entre a Terra e o Sol, aproximadamente $ \mathbf{1}, \mathbf{5 0} \times \mathbf{1 0}^{8} \mathbf{~ k m} $. A velocidade da luz é aproximadamente $ 3,0 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s} $. Expressa a velocidade da luz em unidades astronômicas por minuto. ( 15 Pontos)
02. Uma partícula material tem a seguinte lei do movimento: $ \vec{r}_{(t)}=\left(3 t^{2}+5\right) \hat{\imath}-2 t^{3} \hat{\jmath}(m) $
02.1. Escreve, em função do tempo, a expressão cartesiana:
A. da velocidade do ponto material $ \vec{v}_{(t)} ; $ ( $ \mathbf{1 0} $ Pontos)
B. da aceleração do ponto material $ \vec{a}_{(t)} $. ( 10 Pontos)
02.2. Determina para $ t=1 \mathrm{~s} $ :
a. A expressão cartesiana do vetor velocidade e a expressão cartesiana do vetor aceleração; (10 Pontos)
b. O ângulo formado por $ \vec{v} $ e $ \vec{a} $. Tira conclusões acerca do movimento nesse instante. (15 Pontos)
03. Dois blocos A e B (com as massas $ 5,0 \mathrm{~kg} $ e 10 kg , respetivamente) estão ligados por uma corda conforme mostra figura 1. A roldana não tem atrito e tem massa desprezível, coeficiente de atrito cinético, entre o bloco A e o plano inclinado, é $ \mu_{c}=0,25 $. Considera $ g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} $.
A. Representa o diagrama de forças de cada um dos blocos A e B. (10 Pontos)
B. Calcula o valor da aceleração de movimento dos blocos. ( 25 Pontos)
C. Determina a intensidade da força de tensão no fio de ligação. ( 10 Pontos)
D. Qual a variação da energia cinética do bloco A, ao se deslocar de C para D, distantes $ \mathbf{2 0} \boldsymbol{m} $ sobre o plano. (10 Pontos)

Figura 1

Accepted Answer

Para resolver as questões propostas, vamos abordar cada uma delas separadamente:

### Questão 01

Queremos expressar a velocidade da luz em unidades astronômicas por minuto.

1. Primeiro, convertemos a velocidade da luz de metros por segundo para quilômetros por segundo:

$$
   c = 3,0 \times 10^8 \, \text{m/s} = 3,0 \times 10^5 \, \text{km/s}
   $$

2. Agora, convertemos quilômetros por segundo para unidades astronômicas por segundo. Sabemos que 1 UA é $1,5 \times 10^8$ km.

$$
   c = \frac{3,0 \times 10^5 \, \text{km/s}}{1,5 \times 10^8 \, \text{km/UA}} = 2,0 \times 10^{-3} \, \text{UA/s}
   $$

3. Finalmente, convertendo para unidades astronômicas por minuto:

$$
   c = 2,0 \times 10^{-3} \, \text{UA/s} \times 60 \, \text{s/min} = 0,12 \, \text{UA/min}
   $$

### Questão 02

Dada a função de movimento $\vec{r}_{(t)}=\left(3 t^{2}+5\right) \hat{\imath}-2 t^{3} \hat{\jmath}$.

#### 02.1
**A. Velocidade $\vec{v}_{(t)}$:**

A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:

$$
\vec{v}_{(t)} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \left(\frac{d}{dt}(3t^2 + 5)\right) \hat{\imath} - \left(\frac{d}{dt}(2t^3)\right) \hat{\jmath} = (6t) \hat{\imath} - (6t^2) \hat{\jmath}
$$

**B. Aceleração $\vec{a}_{(t)}$:**

A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:

$$
\vec{a}_{(t)} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \left(\frac{d}{dt}(6t)\right) \hat{\imath} - \left(\frac{d}{dt}(6t^2)\right) \hat{\jmath} = 6 \hat{\imath} - (12t) \hat{\jmath}
$$

#### 02.2

Para $t = 1 \, \text{s}$:

**a. Vetor velocidade $\vec{v}$ e vetor aceleração $\vec{a}$:**

- $\vec{v}_{(1)} = (6 \times 1) \hat{\imath} - (6 \times 1^2) \hat{\jmath} = 6 \hat{\imath} - 6 \hat{\jmath}$
- $\vec{a}_{(1)} = 6 \hat{\imath} - (12 \times 1) \hat{\jmath} = 6 \hat{\imath} - 12 \hat{\jmath}$

**b. Ângulo entre $\vec{v}$ e $\vec{a}$:**

O ângulo $\theta$ entre dois vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ é dado por:

$$
\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}
$$

Calculando o produto escalar:

$$
\vec{v} \cdot \vec{a} = (6)(6) + (-6)(-12) = 36 + 72 = 108
$$

Calculando os módulos:

$$
|\vec{v}| = \sqrt{6^2 + (-6)^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}
$$
$$
|\vec{a}| = \sqrt{6^2 + (-12)^2} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}
$$

Portanto, o cosseno do ângulo é:

$$
\cos \theta = \frac{108}{6\sqrt{2} \times 6\sqrt{5}} = \frac{108}{36\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}
$$

Assim, calculamos $\theta$ usando a função inversa do cosseno.

### Questão 03

**A. Diagrama de forças:**

- Bloco A:
  - Força normal ($N$)
  - Peso ($P_A = m_A \cdot g$)
  - Força de atrito ($f_a = \mu_c \cdot N$)
  - Tensão ($T$)

- Bloco B:
  - Peso ($P_B = m_B \cdot g$)
  - Tensão ($T$)

**B. Aceleração dos blocos:**

Usando a segunda lei de Newton para o sistema:

1. Para o bloco A no plano inclinado:
   $$
   m_A \cdot a = T - f_a - m_A \cdot g \cdot \sin(\theta)
   $$

2. Para o bloco B:
   $$
   m_B \cdot a = m_B \cdot g - T
   $$

Somando as equações:

$$
m_A \cdot a + m_B \cdot a = m_B \cdot g - f_a - m_A \cdot g \cdot \sin(\theta)
$$

Resolvendo para $a$.

**C. Força de tensão no fio:**

Substituir o valor de $a$ em uma das equações para encontrar $T$.

**D. Variação da energia cinética do bloco A:**

A variação da energia cinética é dada por:

$$
\Delta K = \frac{1}{2} m_A v_f^2 - \frac{1}{2} m_A v_i^2
$$

Calcular $v_f$ e $v_i$ usando a cinemática do movimento retilíneo uniformemente acelerado.

Esses são os passos gerais para resolver cada questão. Se precisar de mais detalhes ou cálculos específicos, sinta-se à vontade para perguntar!

01. Uma unidade astronômica (UA) é a distância média entre a...

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