02 No início de um evento esportivo, a companhia contratada para fazer a segurança do local constatou que a razão entre o número de homens e o número de mulheres presentes no começo do evento era de 7/10. No decorrer do evento, houve um aumento de 240 homens e 160 mulheres deixaram o local, de modo que a razão entre o número de homens e o número de mulheres passou a ser $ 9 / 10 $. Dessa forma, calcule o número de mulheres que estava presente no inicio do evento.

Q: 02 No início de um evento esportivo, a companhia contratada para fazer a segurança do local constatou que a razão entre o número de homens e o número de mulheres presentes no começo do evento era de 7/10. No decorrer do evento, houve um aumento de 240 homens e 160 mulheres deixaram o local, de modo que a razão entre o número de homens e o número de mulheres passou a ser $ 9 / 10 $. Dessa forma, calcule o número de mulheres que estava presente no inicio do evento.

Vamos chamar o número inicial de homens de $ H $ e o número inicial de mulheres de $ M $. Sabemos que inicialmente a razão entre o número de homens e o número de mulheres era de $ \frac{7}{10} $. Então, podemos escrever: \[ \frac{H}{M} = \frac{7}{10} \] Isso implica que: \[ H = \frac{7}{10}M \] Durante o evento, houve um aumento de 240 homens e 160 mulheres deixaram o local. A nova quantidade de homens e mulheres pode ser expressa como: \[ H + 240 \quad \text{(homens)} \] \[ M - 160 \quad \text{(mulheres)} \] A nova razão entre o número de homens e o número de mulheres é $ \frac{9}{10} $. Então, podemos escrever: \[ \frac{H + 240}{M - 160} = \frac{9}{10} \] Substituímos $ H $ por $ \frac{7}{10}M $: \[ \frac{\frac{7}{10}M + 240}{M - 160} = \frac{9}{10} \] Para eliminar os denominadores, multiplicamos ambos os lados da equação por 10: \[ 10 \left( \frac{ \frac{7}{10}M + 240 }{M - 160} \right) = 9 \] Simplificando, temos: \[ \frac{7M + 2400}{M - 160} = 9 \] Multiplicamos ambos os lados por $ M - 160 $: \[ 7M + 2400 = 9(M - 160) \] Expandimos e simplificamos: \[ 7M + 2400 = 9M - 1440 \] Isolamos $ M $: \[ 2400 + 1440 = 9M - 7M \] \[ 3840 = 2M \] \[ M = \frac{3840}{2} \] \[ M = 1920 \] Portanto, o número de mulheres presente no início do evento era $ \boxed{1920} $.

Question

Accepted Answer

Vamos chamar o número inicial de homens de $ H $ e o número inicial de mulheres de $ M $.

Sabemos que inicialmente a razão entre o número de homens e o número de mulheres era de $ \frac{7}{10} $. Então, podemos escrever:

$$
\frac{H}{M} = \frac{7}{10}
$$

Isso implica que:

$$
H = \frac{7}{10}M
$$

Durante o evento, houve um aumento de 240 homens e 160 mulheres deixaram o local. A nova quantidade de homens e mulheres pode ser expressa como:

$$
H + 240 \quad \text{(homens)}
$$
$$
M - 160 \quad \text{(mulheres)}
$$

A nova razão entre o número de homens e o número de mulheres é $ \frac{9}{10} $. Então, podemos escrever:

$$
\frac{H + 240}{M - 160} = \frac{9}{10}
$$

Substituímos $ H $ por $ \frac{7}{10}M $:

$$
\frac{\frac{7}{10}M + 240}{M - 160} = \frac{9}{10}
$$

Para eliminar os denominadores, multiplicamos ambos os lados da equação por 10:

$$
10 \left( \frac{ \frac{7}{10}M + 240 }{M - 160} \right) = 9
$$

Simplificando, temos:

$$
\frac{7M + 2400}{M - 160} = 9
$$

Multiplicamos ambos os lados por $ M - 160 $:

$$
7M + 2400 = 9(M - 160)
$$

Expandimos e simplificamos:

$$
7M + 2400 = 9M - 1440
$$

Isolamos $ M $:

$$
2400 + 1440 = 9M - 7M
$$

$$
3840 = 2M
$$

$$
M = \frac{3840}{2}
$$

$$
M = 1920
$$

Portanto, o número de mulheres presente no início do evento era $ \boxed{1920} $.

02 No início de um evento esportivo, a companhia contratada ...

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