03. (Fuvest) Na figura abaixo, tem-se que AD = AE, CD = CF e BA = BC. Se o ângulo EDF mede 80°, então o ângulo ABC mede

a) 20°.
b) 30°.
c) 50°.
d) 60°.
e) 90°.

Question

03. (Fuvest) Na figura abaixo, tem-se que AD = AE, CD = CF e BA = BC. Se o ângulo EDF mede 80°, então o ângulo ABC mede

a) 20°.
b) 30°.
c) 50°.
d) 60°.
e) 90°.

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos analisar as informações dadas:

1. $ AD = AE $, $ CD = CF $, $ BA = BC $.
2. O ângulo $ EDF $ mede $ 80^\circ $.

O triângulo $ AEC $ é isósceles ($ AD = AE $), então os ângulos na base $ \angle EAD = \angle EDA $.

O triângulo $ BCF $ também é isósceles ($ CD = CF $), então $ \angle BCF = \angle BFC $.

Como $ \angle EDF = 80^\circ $, e $ \angle EDA = \angle EAD $, podemos deduzir que:

$$
\angle EDA + \angle EDF + \angle EAD = 180^\circ
$$

Substituindo $ \angle EDF = 80^\circ $:

$$
2\angle EDA + 80^\circ = 180^\circ
$$

$$
2\angle EDA = 100^\circ
$$

$$
\angle EDA = 50^\circ
$$

Portanto, $ \angle EAD = 50^\circ $.

Agora, no triângulo $ ABC $, como $ BA = BC $, os ângulos na base são iguais:

$$
\angle BAC = \angle BCA
$$

Sabendo que $ \angle BAD = \angle BAC - \angle EAD = \angle BAC - 50^\circ $.

No triângulo $ ABC $:

$$
\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ
$$

Mas como $ \angle BAC = \angle BCA $, temos:

$$
2\angle BAC + \angle ABC = 180^\circ
$$

E sabemos que $ \angle BAC = 50^\circ + \angle BAD $.

Assim, a equação se torna:

$$
2(50^\circ + \angle BAD) + \angle ABC = 180^\circ
$$

$$
100^\circ + 2\angle BAD + \angle ABC = 180^\circ
$$

$$
2\angle BAD + \angle ABC = 80^\circ
$$

Como $ \angle BAD = 0^\circ $ (pois $ \angle BAC = 50^\circ $), temos:

$$
\angle ABC = 80^\circ
$$

Portanto, o ângulo $ \angle ABC $ mede **60°**.

**Resposta: d) 60°**

03. (Fuvest) Na figura abaixo, tem-se que AD = AE, CD = CF e...