04
Observe o polinômio abaixo:
p(x) = (x³ + 2x² + 3x - 3)² . (x² + x + 1)ⁿ
Qual o valor do número natural n para que a soma dos coeficientes do polinômio acima seja 729?
(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 5 (E) 7

Q: 04 Observe o polinômio abaixo: p(x) = (x³ + 2x² + 3x - 3)² . (x² + x + 1)ⁿ Qual o valor do número natural n para que a soma dos coeficientes do polinômio acima seja 729? (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 5 (E) 7

Para encontrar o valor de $ n $ para que a soma dos coeficientes do polinômio seja 729, devemos avaliar o polinômio em $ x = 1 $. Dado o polinômio: \[ p(x) = (x^3 + 2x^2 + 3x - 3)^2 \cdot (x^2 + x + 1)^n \] A soma dos coeficientes é dada por: \[ p(1) = (1^3 + 2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 - 3)^2 \cdot (1^2 + 1 + 1)^n \] Calculando cada parte: 1. $ (1^3 + 2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 - 3) = 1 + 2 + 3 - 3 = 3 $ 2. $ (x^3 + 2x^2 + 3x - 3)^2 $ avaliado em 1 é $ 3^2 = 9 $ 3. $ (1^2 + 1 + 1) = 3 $ Portanto, \[ p(1) = 9 \cdot 3^n \] Queremos que: \[ 9 \cdot 3^n = 729 \] Dividindo ambos os lados por 9: \[ 3^n = \frac{729}{9} = 81 \] Sabemos que $ 81 = 3^4 $, então: \[ 3^n = 3^4 \] Logo, $ n = 4 $. **Resposta: C**

Question

04
Observe o polinômio abaixo:
p(x) = (x³ + 2x² + 3x - 3)² . (x² + x + 1)ⁿ
Qual o valor do número natural n para que a soma dos coeficientes do polinômio acima seja 729?
(A) 1  (B) 2  (C) 4  (D) 5  (E) 7

Accepted Answer

Para encontrar o valor de $ n $ para que a soma dos coeficientes do polinômio seja 729, devemos avaliar o polinômio em $ x = 1 $.

Dado o polinômio:

$$ p(x) = (x^3 + 2x^2 + 3x - 3)^2 \cdot (x^2 + x + 1)^n $$

A soma dos coeficientes é dada por:

$$ p(1) = (1^3 + 2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 - 3)^2 \cdot (1^2 + 1 + 1)^n $$

Calculando cada parte:

1. $ (1^3 + 2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 - 3) = 1 + 2 + 3 - 3 = 3 $
2. $ (x^3 + 2x^2 + 3x - 3)^2 $ avaliado em 1 é $ 3^2 = 9 $
3. $ (1^2 + 1 + 1) = 3 $

Portanto,

$$ p(1) = 9 \cdot 3^n $$

Queremos que:

$$ 9 \cdot 3^n = 729 $$

Dividindo ambos os lados por 9:

$$ 3^n = \frac{729}{9} = 81 $$

Sabemos que $ 81 = 3^4 $, então:

$$ 3^n = 3^4 $$

Logo, $ n = 4 $.

**Resposta: C**

04 Observe o polinômio abaixo: p(x) = (x³ + 2x² + 3x - 3)² ....

04 Observe o polinômio abaixo: p(x) = (x³ + 2x² + 3x - 3)² . (x² + x + 1)ⁿ Qual o valor do número natural n para que a soma dos coeficientes do polinômio acima seja 729? (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 5 (E) 7

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