05) (UPE 2013) Oito amigos entraram em um restaurante para jantar e sentaram-se numa mesa retangular, com oito lugares, como mostra a figura a seguir:

Dentre todas as configurações possíveis, quantas são as possibilidades de dois desses amigos, Amaro e Danilo, ficarem sentados em frente um do outro?
06) (FAMEMA) Três tubos de ensaio, com rótulos $ \mathrm{A}, \mathrm{Be} $ C, serão colocados em um suporte que possui cinco lugares alinhados e encontra-se fixado em uma parede. A figura mostra uma das possíveis disposições dos tubos.

Sabendo que o tubo com o rótulo A não pode ocupar as extremidades do suporte, o número de maneiras distintas de esses tubos serem colocados nesse suporte é
07) Fernanda está coordenando o projeto editorial de uma revista que vai abordar a história de 7 escritores. Ela dispöe de 7 fotos, uma de cada escritor, e deve escolher 3 delas para compor a capa dessa revista. De quantos conjuntos diferentes com 3 fotos Fernanda dispōe para escolher o que vai compor essa capa?

Question

05) (UPE 2013) Oito amigos entraram em um restaurante para jantar e sentaram-se numa mesa retangular, com oito lugares, como mostra a figura a seguir:

Dentre todas as configurações possíveis, quantas são as possibilidades de dois desses amigos, Amaro e Danilo, ficarem sentados em frente um do outro?
06) (FAMEMA) Três tubos de ensaio, com rótulos $ \mathrm{A}, \mathrm{Be} $ C, serão colocados em um suporte que possui cinco lugares alinhados e encontra-se fixado em uma parede. A figura mostra uma das possíveis disposições dos tubos.

Sabendo que o tubo com o rótulo A não pode ocupar as extremidades do suporte, o número de maneiras distintas de esses tubos serem colocados nesse suporte é
07) Fernanda está coordenando o projeto editorial de uma revista que vai abordar a história de 7 escritores. Ela dispöe de 7 fotos, uma de cada escritor, e deve escolher 3 delas para compor a capa dessa revista. De quantos conjuntos diferentes com 3 fotos Fernanda dispōe para escolher o que vai compor essa capa?

Accepted Answer

Vamos abordar cada questão uma por vez:

**Questão 05 (UPE 2013):**

Para resolver essa questão, precisamos entender que Amaro e Danilo devem se sentar de frente um para o outro em uma mesa retangular com 8 lugares. Isso significa que temos 4 pares de lugares possíveis onde eles podem se sentar.

Primeiro, escolhemos um dos 4 pares de lugares possíveis para Amaro e Danilo. Para cada par escolhido, Amaro pode sentar-se em um dos dois lugares e Danilo no outro, ou vice-versa. Então, há 2 maneiras de distribuir Amaro e Danilo em cada par de lugares.

Portanto, o número total de maneiras de Amaro e Danilo ficarem sentados em frente um do outro é:
$$ 4 \text{ pares} \times 2 = 8 \text{ maneiras} $$

**Resposta: 8**

**Questão 06 (FAMEMA):**

Os tubos de ensaio A, B e C serão colocados em um suporte com 5 lugares, mas o tubo A não pode ocupar as extremidades (lugares 1 e 5). Isso significa que o tubo A só pode ocupar os lugares 2, 3 ou 4.

Vamos calcular as possibilidades:

1. Escolha do lugar para o tubo A:
   - Existem 3 opções para o tubo A (lugares 2, 3 ou 4).

2. Distribuição dos tubos B e C nos lugares restantes:
   - Depois de fixar a posição do tubo A, restam 4 lugares.
   - Os tubos B e C podem ser colocados nesses 4 lugares restantes de $ \binom{4}{2} $ maneiras, e dentro desses 2 lugares escolhidos, os tubos B e C podem ser permutados de 2 maneiras.

Então, o número total de maneiras é:
$$ 3 \text{ (escolhas para A)} \times \binom{4}{2} \times 2 = 3 \times 6 \times 2 = 36 $$

**Resposta: 36**

**Questão 07:**

Fernanda precisa escolher 3 fotos de um total de 7 para compor a capa da revista. Isso é um problema de combinação, onde a ordem das fotos não importa.

O número de combinações de 3 fotos de um total de 7 é dado por:
$$ \binom{7}{3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} $$

Calculando os fatoriais:
$$ \binom{7}{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 $$

**Resposta: 35**

05) (UPE 2013) Oito amigos entraram em um restaurante para j...

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