06) Determine, se existirem, os zeros da função e as coordenadas do vértice da parábola que. representa o gráfico das funçõ̃es quadráticas definidas a seguir.
a) $ y=x^{2}-6 x+5 $
b) $ y=3 x^{2}-4 x $
c) $ y=-x^{2}+x-3 $
d) $ y=x^{2}-9 $
e) $ y=-6 x^{2} $

Question

Accepted Answer

Para determinar os zeros da função e as coordenadas do vértice da parábola, vamos utilizar as fórmulas e métodos apropriados para funções quadráticas da forma geral $ y = ax^2 + bx + c $.

### a) $ y = x^2 - 6x + 5 $

**Zeros da função:**

Os zeros da função são os valores de $x$ onde $y = 0$. Para encontrar esses valores, resolvemos a equação quadrática:

$$ x^2 - 6x + 5 = 0 $$

Usamos a fórmula de Bhaskara:

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

Aqui, $a = 1$, $b = -6$ e $c = 5$:

$$ x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2} $$

Portanto, os zeros são:

$$ x_1 = \frac{6 + 4}{2} = 5 $$
$$ x_2 = \frac{6 - 4}{2} = 1 $$

**Coordenadas do vértice:**

As coordenadas do vértice $(h, k)$ podem ser encontradas usando as fórmulas:

$$ h = -\frac{b}{2a} $$
$$ k = f(h) $$

Para $a = 1$ e $b = -6$:

$$ h = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3 $$
$$ k = f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4 $$

Portanto, as coordenadas do vértice são $(3, -4)$.

### b) $ y = 3x^2 - 4x $

**Zeros da função:**

$$ 3x^2 - 4x = 0 $$
$$ x(3x - 4) = 0 $$

Portanto, os zeros são:

$$ x_1 = 0 $$
$$ x_2 = \frac{4}{3} $$

**Coordenadas do vértice:**

$$ h = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $$
$$ k = f\left(\frac{2}{3}\right) = 3\left(\frac{2}{3}\right)^2 - 4\left(\frac{2}{3}\right) = 3 \cdot \frac{4}{9} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} = -\frac{4}{3} $$

Portanto, as coordenadas do vértice são $\left(\frac{2}{3}, -\frac{4}{3}\right)$.

### c) $ y = -x^2 + x - 3 $

**Zeros da função:**

$$ -x^2 + x - 3 = 0 $$

Usamos a fórmula de Bhaskara:

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

Aqui, $a = -1$, $b = 1$ e $c = -3$:

$$ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-3)}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 12}}{-2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-11}}{-2} $$

Como o discriminante é negativo ($\sqrt{-11}$), não há zeros reais.

**Coordenadas do vértice:**

$$ h = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-1)} = \frac{1}{2} $$
$$ k = f\left(\frac{1}{2}\right) = -\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} - 3 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 3 = -\frac{1}{4} + \frac{2}{4} - \frac{12}{4} = -\frac{11}{4} $$

Portanto, as coordenadas do vértice são $\left(\frac{1}{2}, -\frac{11}{4}\right)$.

### d) $ y = x^2 - 9 $

**Zeros da função:**

$$ x^2 - 9 = 0 $$
$$ x^2 = 9 $$
$$ x = \pm 3 $$

Portanto, os zeros são:

$$ x_1 = 3 $$
$$ x_2 = -3 $$

**Coordenadas do vértice:**

$$ h = -\frac{b}{2a} = 0 $$ (pois $b = 0$)
$$ k = f(0) = 0^2 - 9 = -9 $$

Portanto, as coordenadas do vértice são $(0, -9)$.

### e) $ y = -6x^2 $

**Zeros da função:**

$$ -6x^2 = 0 $$
$$ x = 0 $$

Portanto, o zero é:

$$ x = 0 $$

**Coordenadas do vértice:**

$$ h = -\frac{b}{2a} = 0 $$ (pois $b = 0$)
$$ k = f(0) = -6 \cdot 0^2 = 0 $$

Portanto, as coordenadas do vértice são $(0, 0)$.

Resumindo:

a) Zeros: $1, 5$; Vértice: $(3, -4)$
b) Zeros: $0, \frac{4}{3}$; Vértice: $\left(\frac{2}{3}, -\frac{4}{3}\right)$
c) Zeros: Não existem; Vértice: $\left(\frac{1}{2}, -\frac{11}{4}\right)$
d) Zeros: $\pm 3$; Vértice: $(0, -9)$
e) Zeros: $0$; Vértice: $(0, 0)$

06) Determine, se existirem, os zeros da função e as coorden...

Determine, se existirem, os zeros da função e as coordenadas do vértice da parábola que. representa o gráfico das funçõ̃es quadráticas definidas a seguir. a) $y=x^{2}-6 x+5$ b) $y=3 x^{2}-4 x$ c) $y=-x^{2}+x-3$ d) $y=x^{2}-9$ e) $y=-6 x^{2}$

Ask a question and receive an answer instantly